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nを2以上の整数とする。一つのサイコロをn回続けて投げ同じ目が初めて二回連続で出るまで投げた回数をXとする。n回までに同じ目が続けてでなければX=n+1。Xの期待値を求めよ。

この問題の解き方を教えていただきたいです。

質問者からの補足コメント

  • 答えは7-5(5/6)^(n-1)となるそうです。

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/05/17 12:37
gooドクター

A 回答 (6件)

#2です。



仕事が忙しかったので考えていなかったけど、週末になって思い出しました。そして、計算方法を思いつきました。時間が掛ってスミマセンでした。


幾何分布の期待値は無限等比級数の和を使って計算できます。

ところが、今回はn回で打ち切りです。問題文からは(n+1)回までの和と読み取れますが、1投目は無視するからn回です。
無限等比級数は簡単ですが、nを含んだまま有限の和を求めるのは困難です。

そこで、簡単にするために、全体の和からそれ以降の等比数列の和を引きます。

それ以降の和は、(n+1)回目を初項とする無限等比級数の和です。問題文からは(n+2)回目以降と読み取れますが、1投目は無視するから(n+1)回です。初項はn回ハズレ続けた値になります。

等比数列の公式に入れてやれば、解答の式が出ます。
ただし、1回目は無視して計算し、後から足します。

後半の初項は(5/6)^n、無限等比級数の和は(初項)/(1ー公比)

次の式の6は今回の幾何分布の期待値で全体に相当します。そこから後半の級数の和を引きます。最後の1は、無視した1投目です。

6-(5/6)^n / (1-5/6)+1
=7-5(5/6)^(n-1)

導出終わり。
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#5です。



お恥ずかしい。

数列と級数がごっちゃになっていました。級数は数列の和です。級数の和なんて書いていますね。訂正してお詫びします。
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#2です。



お示し頂いた式を検証しました。
確かに、あの式は打ち切り回数を増やしていくと、私の直感通り、幾何分布の期待値6に最初の1回分を足した7に漸近していきますね。

数式化で躓いているのが、打ち切りまでに同じ目が揃わなかったときは、X=n+1とせよ、の部分です。もう少し考えさせて下さい。
興味深い問題です。

(5/6)^(n-1)は、打ち切り回数までに揃わなかった確率ですが、なぜそれに5を掛けて、目が揃うまで続けた場合の期待値7から引けば良いのか、理由が分かりません。
「確率の問題」の回答画像4
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#2です。



コメントありがとうございます。

nの関数になるんですね。n→∞のケースでなく(nが消えるのではなく)、nの関数として求まるのですね。
すなわち、X回<n回すなわち同じ目が出るまでX回続けるのでなく、n回打ち切りなんですね。

これを見落としていました。

ということは、n回以降に見つかる場合を考慮して引かなければなりませんね。

チャレンジしてみます。
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企業で統計を推進する立場の者です。



直感ですが、

これって幾何分布の問題で、n回で生起するなら期待値はE(X)=1/p。
すなわち、X回目で「初めて同じ目が並ぶ」ときXの期待値は、問題文どおりそれに1投目を足して「7」になるはずなんですが、#1さんの回答を計算するとそうなるのかあ。

あと、感覚的には、もっと早く並ぶと感じるのですが、その場合は中央値を使います。問題は期待値を求めよ、ですから感覚とはズレます。

期待値の導出が必要なら書きますが、ネットでも溢れています。

高校英語の教科書に出ていた「タコのパウル君」は中央値でやっていたので、質問された際、しばらく悩みました。
この回答への補足あり
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毎回の「出た目」に対して、次に「同じ目が出るか」(確率 1/6)、「同じ目が出ないか」(確率 5/6)の連続です。


n回までに同じ目が続けて出れば、そこで終了ということなのでしょう。

1回目:何の目でもよい。確率1。このとき X は定義できない。
2回目:1回目と同じ目が出る確率 1/6。 このとき X=2
3回目:2回目が「1回目と同じ目」が出ない(5/6)、かつ「2回目」と同じ目が出る(確率 1/6)。 このとき X=3

以上の考察を続ければ
・X=2 となる確率:1 * 1/6 = 1/6
・X=3 となる確率:1 * 5/6 * 1/6 = 5/36
・X=4 となる確率:1 * 5/6 * 5/6 * 1/6 = 25/216
 ・・・
・X=n となる確率:5^(n-2) /6^(n-1)
・X=n+1 となる確率:5^(n-1) /6^(n-1)

従って、X の期待値は
 Σ[i=2,n]{i * 5^(i-2) /6^(i-1)} + (n+1) * 5^(n-1) /6^(n-1)
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