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青線の部分は何のために-0を書いているのですか?

「青線の部分は何のために-0を書いているの」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 皆様、御回答ありがとうございました。

      補足日時:2021/05/17 13:51

A 回答 (4件)

まず 中学校のおさらいから


変化の割合=yの増加量/xの増加量
でしたね
この問題では yのところがf(x)に置き換わっていますが、根本は同じ
まあ、中学校にあわせれば y=2^xという事になります

で、グラフ:y=2^x上にある2点 (x,2^x) と (0,2⁰)を選んで
その変化の割合を表したものが
変化の割合=yの増加量/xの増加量=(2^x-2⁰)/(x-0)です
分母は xが0の座標から2^xまで増加したときの xの増加量
分子はこれに対応した2点の yの増加量ということです

さて実際に簡単な曲線グラフy=2^xを描いて
2点をとり、この2点を結んでもらえばわかりますが、
この変化の割合は2点間を結ぶ直線の傾きに一致します
2点(x,2^x) と (0,2⁰)の距離が離れていれば離れているほど2点を結ぶ直線と曲線グラフのずれは大きくなってしまいますよね

反対に2点を近づければ近づけるほど 直線と曲線のずれは小さくなりそうです
そして、2点を限りなく近づけ ほぼ一致状態になった時のことを考えると
これは最早ほぼ(0,2⁰)で重なった接線と一致になることが想像できるはずです

これを極限で表したのが x→0です
x→0はグラフ上の点(x,2^x)のxを極限まで0に近づけて
(0,2⁰)に限りなく近づけるという意味なんです

このことから、変化の割合の2点間の距離ほぼ0ヴァージョンである
lim[x→0](2^x-2⁰)/(x-0) は
曲線グラフ、(0,2⁰)における接線の傾きを意味し
これをf'(0)と定義しているわけです

この問題では
lim[x→0](2^x-2⁰)/x
の分母に -0が省略されていると気がつけばこの定義で簡単に答えが分かってしまうというパターンですが、このパターンは頻出です
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NO3 訂正



前半部分
誤り:「分母は xが0の座標から2^xまで増加したときの xの増加量」
 
正しくは→「分母は x座標が0の点からx座標がxの点まで増加したときの xの増加量」
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「指針」のところをちゃんと読むことです。


そこから更に、微分ってそもそも何だったっけ、傾きのことか、(a,f(a))と(a+d,f(a+d))の二点の傾きを出すにはどうするんだっけ、dをどんどん小さくしていけば、a付近の微少区間の傾きが出せるよな、くらいまで理解できていると強いでしょう。
なんとかのやり方が、解法が、ばかりに着目すると、こういう基礎が疎かになりがちです。
こういうことはあるだろうし、私もそうでしたが、さてなんだっけ、と、気がつく度に考えてみる、遡って勉強し直してみる、進んで戻って進んで戻って、とやると、そのうち内容がよく理解できるようになります。
自分は基礎を疎かにしがちなんだ、数行上さえ見落とすんだ、と判っていることがまず大事です。
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微分係数の定義と式の形をあわせるため.



分子の 1 をわざわざ 2^0 と書いたところは気にならなかった?
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