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箱Aには数字2,4,6,8がひとつづつ書かれた札が計四枚、箱Bには1,3,5,7の札が一枚づつ入っている。まずAから無作為に一枚取り出して書かれている数をXとする。X=8の場合Bから無作為に一枚取り出してその札の数をYとする。B≠8ならもう一度Aから残りの三枚から無作為に札をとりその数字をYとする。Z=X+Yとする。

Xの期待値と分散、Yの期待値と分散、Zの期待値と分散を求めよ。またXとYが独立か答えよ

という問題を教えていただきたいです。

gooドクター

A 回答 (2件)

>B≠8ならもう一度Aから残りの三枚から無作為に札をとり



その「B」って何?
箱Bには「8」の札はないし。

「X≠8」の場合ということ?

つまり
(a) X=8 なら箱Bから引いた札の数が Y
(b) X≠8 なら箱Aの残り3枚から引いた札の数が Y
ということかな?

Xは「2, 4, 6, 8」が各々確率 1/4 なので、
 E[X] = 2 * (1/4) + 4 * (1/4) + 6 * (1/4) + 8 * (1/4) = 5

分散は V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 の公式を使って
 E[X^2] = 2^2 * (1/4) + 4^2 * (1/4) + 6^2 * (1/4) + 8^2 * (1/4) = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
より
 V[X] = 30 - 5^2 = 5

Y はちょっと面倒。
X=8 となる確率は 1/4 なので、そのときに Y=1, 3, 5, 7 となる確率は各々 1/4 なので
 Y=1 の確率:(1/4) * (1/4) = 1/16 このとき Z = 9
 Y=3 の確率:(1/4) * (1/4) = 1/16 このとき Z = 11
 Y=5 の確率:(1/4) * (1/4) = 1/16 このとき Z = 13
 Y=7 の確率:(1/4) * (1/4) = 1/16 このとき Z = 15
 
X≠8 となる確率は 3/4 であり、そのときに X=2, 4, 6 となる確率は各々 1/4 なので、
 X=2 となる確率 1/4、そのとき Y=4, 6, 8 となる確率は各々 1/3 なので
  Y=4, 6, 8 となる確率:(1/4) * (1/3) = 1/12
    このとき、Z=6, 8, 10
 X=4 となる確率 1/4、そのとき Y=2, 6, 8 となる確率は各々 1/3 なので
  Y=2, 6, 8 となる確率:(1/4) * (1/3) = 1/12
    このとき、Z=6, 10, 12
 X=6 となる確率 1/4、そのとき Y=2, 4, 8 となる確率は各々 1/3 なので
  Y=2, 4, 8 となる確率:(1/4) * (1/3) = 1/12
    このとき、Z=8, 10, 14

以上より
 Y=1 となる確率 1/16
 Y=2 となる確率 2/12
 Y=3 となる確率 1/16
 Y=4 となる確率 2/12
 Y=5 となる確率 1/16
 Y=6 となる確率 2/12
 Y=7 となる確率 1/16
 Y=8 となる確率 3/12
確率を全部足せば 1 になりますね(検算)。

ということで、
 E[Y] = 1 * (1/16) + 2 * (2/12) + 3 * (1/16) + 4 * (2/12) + 5 * (1/16) + 6 * (2/12) + 7 * (1/16) + 8 * (3/12)
   = 5
分散は、これも V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 の公式を使って
 E[Y^2] = 1^2 * (1/16) + 2^2 * (2/12) + 3^2 * (1/16) + 4^2 * (2/12) + 5^2 * (1/16) + 6^2 * (2/12) + 7^2 * (1/16) + 8^2 * (3/12)
    = 84/16 + 304/12 = 21/4 + 76/3 = 367/12
より
 V[Y] = 367/12 - 5^2 = 67/12


また、
 Z=6 となる確率 2/12
 Z=8 となる確率 2/12
 Z=9 となる確率 1/16
 Z=10 となる確率 3/12
 Z=11 となる確率 1/16
 Z=12 となる確率 1/12
 Z=13 となる確率 1/16
 Z=14 となる確率 1/12
 Z=15 となる確率 1/16
これも、確率を全部足せば 1 になりますね。

ということで、Z の期待値は
 E[Z] = 6 * (2/12) + 8 * (2/12) + 9 * (1/16) + 10 * (3/12) + 11 * (1/16) + 12 * (1/12) + 13 * (1/16) + 14 * (1/12) + 15 * (1/16)
   = 84/12 + 48/16 = 7 + 3 = 10

(注)E[Z] = E[X + Y] = E[X] + E[Y] になっていますね。

分散は、これも V[Z] = E[Z^2] - (E[Z])^2 の公式を使って
 E[Z^2] = 6^2 * (2/12) + 8^2 * (2/12) + 9^2 * (1/16) + 10^2 * (3/12) + 11^2 * (1/16) + 12^2 * (1/12) + 13^2 * (1/16) + 14^2 * (1/12) + 15^2 * (1/16)
   = 840/12 + 596/16 = 70 + 149/4 = 429/4
より
 V[Z] = 429/4 - 10^2 = 29/4

X, Y が独立なら
V[Z] = V[X + Y] = V[X] + V[Y]
であるが、
  5 + 67/12 = 127/12 ≠ 29/4
なので X と Y は独立ではない。


計算違いしているかも。
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「残りの3枚から」と書いてあるので、札は戻さないのですよね。



だとすると、独立試行ではないので、枝分かれ図でも描いて書き出すしかないと思います。
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