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x/(1+|x-1|)^5の-∞から∞の積分が分かりません。教えていただきたいです。

gooドクター

A 回答 (5件)

x/(1+|x-1|)^5=1/x⁴ (x≧1)


x/(1+|x-1|)^5=x/(2-x)⁵ (x≦1)

I=∫[-∞,∞] x/(1+|x-1|)^5 dx
=∫[-∞,1] x/(2-x)⁵ dx+∫[1,∞] 1/x⁴ dx
 =1/6+1/3=1/2

ちなみに
∫[-∞,1] x/(2-x)⁵ dx=∫[-∞,-1] -(u+2)/u⁵ du (u=x-2 と変換)
 =[1/(3u³)+2/(4u⁴)][-1,-∞]=-1/3+1/2+0+0=1/6

∫[1,∞] 1/x⁴ dx=[-1/(3x³)][∞,1]=1/3
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ん~。



せっかく答えようとしたのに・・・。
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(x-1) がプラスになる区間と、マイナスになる・・・


ですね、すみません。
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|x-1|がプラスになる区間とマイナスになる区間に分けて結果を足せばよいです。

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今は手が離せない。

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