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仕事の中で、数学を使う必要がでてきましたので、教えてください。

保険契約で、1年ごとに更新される場合を前提としています。
95%の確率で更新され、5%の確率で、更新されない、とします。
この場合、この保険契約が存続するのは、平均的に、何年間と考えられるでしょうか。
数学的な根拠も合わせて教えていただけますと幸甚です。

A 回答 (6件)

A = Σ[k=1→∞] k { (98/100)^(k-1) }(5/100) を計算する問題です。



a(n) = Σ[k=1→n] k { (98/100)^(k-1) }(5/100) と置くと
a(n+1) - (95/100)a(n) = Σ[k=1→n+1] k { (95/100)^(k-1) }(5/100)
            - (95/100)Σ[k=1→n] k { (95/100)^(k-1) }(5/100)
           = Σ[k=0→n] (k+1) { (95/100)^k }(5/100)
            - Σ[k=1→n] k { (95/100)^k }(5/100)
           = (0+1) { (95/100)^0 }(5/100) + Σ[k=1→n] { (95/100)^k }(5/100)
           = (5/100) + (5/100){ 1- (95/100)^(n+1) }/{ 1 - 95/100}.

両辺を n→∞ とすると、
A - (95/100)A = (5/100) + (5/100)/{ 1 - 95/100 }.
よって、
A = (5/100){ 1+ 1/{ 1- 95/100} }/{ 1 - 95/100 }
 = 21.

平均 21 年ですね。
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この回答へのお礼

ご丁寧な回答をいただき、ありがとうございます。

お礼日時:2021/05/18 10:21

更新してくれる顧客の割合がrだとして、最初の顧客数をNとすると、1年目の終わりまではN人、2年目の終わりまではrN人、3年目終わりまでは(r^2)N人…という風に減っていく。


 いずれ顧客は0人になっちゃっうわけですが、それでも、ま、Nがものすごく大きいと仮定しますと、顧客が契約していた期間の平均 Y(年)は
  Y=1+(Σ{n=0〜∞} (r^n)N)/N = 1+Σ{n=0〜∞} (r^n) = 1+1/(1-r)
で近似できる。(等比級数と呼ばれています。)ご質問ではr=0.95だから、
  Y = 1+1/(1-r) = 1+1/(1-0.95) = 21(年)
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この回答へのお礼

ご丁寧な回答をいただき、ありがとうございます。

お礼日時:2021/05/18 10:21

すみません、私も若い頃不勉強だった為、直接の回答はできないのですが、この質問にはちゃんとした数学的答えとして、平均●年という数字が出ると思います。


そういう回答者が現れるまで締め切らずにお待ち下さい。
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ごめん。

この質問に対するピンポイントな回答ではありません。

たぶんここで答えを教えてもらっても、同様の質問を繰り返すことになると思います。
仕事で必要と言うことは、会社の諸先輩方はそれらをりかいしているということですので、
会社の先輩や上司に聞くことを勧めます。
回答が返るまでヤキモキすることなく、その場で答えてもらえますよ。

あと、根本的なところを理解しているかがポイントになりますので、
保険契約の年率につてしっかり理解する努力もしましょう。
計算方法だけを教えてもらっても、条件が異なる場合、その教えてもらった計算方法が使えないなんてこともあります。

特にお仕事で使う事です。
根本から理解するよう努力しましょう。


・・・余談・・・

一般的に会社により利益率がいくつまで下がったらサービスを終了するかが異なりますので、一概にいつまでと回答することはできません。
ですので、「平均的に何年間」の ”平均” に対する定義が必要になります。

数学てのは、面倒ですがそういうもんなんです。
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これは、年あたりの残存率が0.95と言う事です。


n年後の残存率は、0.95のn乗 で求められます。
この値は、nが幾ら大きくなろうともゼロにはならなので、
契約が存続、という面では、永久に存続するという事になります。
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ん〜。



ずっと毎年「前年割れ」
って事ですよねぇ……。

後は、経営的判断でしょう。
何年我慢して、「損切り」するか?
ですねッ!
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