4年に一度のスポーツの祭典 全競技速報中

問題 2 z 軸を中心軸として、半径 a の厚みの無視できる導体円筒と半径 4a の厚みの無視できる導体円筒 で円筒コンデンサーを構成した。コンデンサー内部には、内半径 2a、外半径 3a の誘電率 3ε0 の円筒上の誘 電体が入っている。真空中の誘電率を ε0、中心軸からの距離を r として以下の各問に答えよ。
(a) コンデンサーに(円筒の)単位高さ当たり電気量 Q[C/m] を与えたとき(導体球に正電荷を与える)、 半径 a ≤ r ≤ 4a に領域で、電場をそれぞれの場合に求めよ(導出過程を明記すること)。
(b) 単位高さ当たりの静電容量を求めよ。
(c) 単位体積当たりの静電エネルギーを積分して、半径 3a ≤ r ≤ 4a の領域にある静電場が持つ単位高さ当 たりの全エネルギーを求めよ。

上の(a)~(c)の解き方をご教授ください。

gooドクター

A 回答 (2件)

ガウスの法則


 ∫D・ndS=Q
から、単位長当たり、半径rの円筒内の電荷をQとすると電束密度は
 2πrD=Q → D=Q/(2πr)

(a)
D=εE だから
 E=Q/(2πε₀r) (a<r<2a , 3a<r<4a)
 E=Q/(2πεr) , ε=3ε₀ (2a<r3a)

(b)
 V=-{∫[4a→3a] Edr+∫[3a→2a] Edr+∫[2a→a] Edr}
  =-(Q/2πε₀){ [logr][3a,4a]+(1/3)[logr][2a,3a]+[logr][a,2a] }
  =-(Q/6πε₀){ 3[log3a-log4a]+[log2a-log3a]+3[loga-log2a] }
  =-(Q/6πε₀){ 3log(3/4)+log(2/3)+3log(1/2) }
  =-(Q/6πε₀){ 3(log3-2log2)+(log2-log3)-3log2 }
  =-(Q/6πε₀){ 2log3-8log2 }=-(Q/3πε₀){ log3-4log2 }
  =(Q/3πε₀)log(16/3)

 C=Q/V=3πε₀/log(16/3) [F/m]

(c)
W=∫[3a→4a] ε₀E²/2 (2πr)dr
 =∫[3a→4a] ε₀{Q²/(2πε₀r)²}(πr)dr
 =∫[3a→4a] ε₀{Q²/(4π²ε₀²r²)}(πr)dr
 =(Q²/4πε₀)∫[3a→4a] (1/r)dr
 =(Q²/4πε₀)[logr][4a,3a]
 = (Q²/4πε₀) log(4/3) [J/m]
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。とてもわかりやすかったです。

お礼日時:2021/05/19 00:53

(c)はもっと簡単に求められる。

(b)から3a~4a間の電圧は
V=-∫[4a→3a] Edr =-(Q/2πε₀)[logr][3a,4a]
 =-(Q/2πε₀) log(3/4) = (Q/2πε₀) log(4/3)

この間のコンデンサのエネルギーは
QV/2=(Q²/4πε₀) log(4/3) [J/m]
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

gooドクター

人気Q&Aランキング