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数学の問題です。
P(x)=(2x^3)+(9x^2)+13x+6の因数分解のやり方を教えてください。お願いします

gooドクター

A 回答 (2件)

いつも書いていることだけど、


整数係数代数方程式が有理数解をもつならば
その解は (定数項の約数)/(最高次の係数の約数)
という形のものに限られる。 ←[*]

今回の P(x) の場合、そのような有理数は
(±1, ±2, ±3, ±6 のどれか)/(±1, ±2 のどれか) であって、
±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2 に限られる。
代入しやすいものから順に試してみると、早々に P(-1) = 0 が見つかる。
因数定理より P(x) は x-(-1) で割り切れることになるので、
P(x)÷(x+1) を計算してみると P(x) = (x+1)(2x^2+7x+6) となっている。

2x^2+7x+6 = 0 を解の公式で解いてみると
x = {-7±√(7^2-4・2・6)}/(2・2) = -3/2, -2 なので、やはり因数定理より
2x^2+7x+6 = 2(x-(-3/2))(x-(-2)) = (2x+3)(x+2) と分解できる。

以上まとめると、P(x) = (x+1)(2x+3)(x+2).


[*]の証明:
Σ[k=0..n] (a_k)x^k = 0 に x = p/q を代入した式が
(a_0)q^n = -p Σ[k=1..n] (a_k)(p^(k-1))q^(n-k),
(a_n)p^n = -q Σ[k=0..n-1] (a_k)(p^k)q^(n-k-1)
と変形できることから、 p/q が既約であれば
a_0 は p で、 a_n は q で割り切れる。
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①3次の係数と定数項を見る


➁定数項の約数/3次の係数の約数 =6の約数/2の約数
をすべて上げる
それは 1/1=1
2/1=2
3/1=3
6/1=6
1/2
2/2=1
3/2などなど
これらを順にP(x)の右辺に代入してみて =0 となるものを探す
x=1代入では
P(1)=(2・1³)+(9・1²)+13・1+6≠0
マイナスのヴァージョンも試す
x=-1代入
P(-1)=2・(-1)³+9・(-1)²+13・(-1)+6=15-15=0
見つけた!
見つけたら 因数定理!
x=-1代入で =0になる式は因数に {x-(-1)}=(x+1)を持つ!
ゆえに P(x)は(x+1)で割り切れる
そこで
{(2x^3)+(9x^2)+13x+6}÷(x+1)を実行
筆算しても良いし、組み立て除法でもよい
組み立て除法なら

2 9 13 6 |-1
 ー2 ー7 ー6
ーーーーーーーーーーーー
2 7 6  0
 
→→→ 商は2x²+7x+6 あまり0
ゆえに
{(2x^3)+(9x^2)+13x+6}÷(x+1)=2x²+7x+6
⇔{(2x^3)+(9x^2)+13x+6}=(2x²+7x+6)(x+1)
あとは (2x²+7x+6)が因数分解可能なら因数分解して完了(たすき掛けでも、先ほどの要領の因数定理でもよい)
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