数学の問題です。 P(x)=(2x^3)+(9x^2)+13x+6の因数分解のやり方を教えてください

数学の問題です。
P(x)=(2x^3)+(9x^2)+13x+6の因数分解のやり方を教えてください。お願いします

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/18 19:25

いつも書いていることだけど、

整数係数代数方程式が有理数解をもつならば
その解は (定数項の約数)/(最高次の係数の約数)
という形のものに限られる。　←[＊]

今回の P(x) の場合、そのような有理数は
(±1, ±2, ±3, ±6 のどれか)/(±1, ±2 のどれか) であって、
±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2 に限られる。
代入しやすいものから順に試してみると、早々に P(-1) = 0 が見つかる。
因数定理より P(x) は x-(-1) で割り切れることになるので、
P(x)÷(x+1) を計算してみると P(x) = (x+1)(2x^2+7x+6) となっている。

2x^2+7x+6 = 0 を解の公式で解いてみると
x = {-7±√(7^2-4・2・6)}/(2・2) = -3/2, -2 なので、やはり因数定理より
2x^2+7x+6 = 2(x-(-3/2))(x-(-2)) = (2x+3)(x+2) と分解できる。

以上まとめると、P(x) = (x+1)(2x+3)(x+2).


[＊]の証明：
Σ[k=0..n] (a_k)x^k = 0 に x = p/q を代入した式が
(a_0)q^n = -p Σ[k=1..n] (a_k)(p^(k-1))q^(n-k),
(a_n)p^n = -q Σ[k=0..n-1] (a_k)(p^k)q^(n-k-1)
と変形できることから、 p/q が既約であれば
a_0 は p で、 a_n は q で割り切れる。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/18 16:11

①3次の係数と定数項を見る

➁定数項の約数/3次の係数の約数　＝6の約数/２の約数
をすべて上げる
それは　1/1=1
2/1=2
3/1=3
6/1=6
1/2
2/2=1
3/2などなど
これらを順にP(x)の右辺に代入してみて　=０　となるものを探す
x=1代入では
P(1)=(2・1³)+(9・1²)+13・1+6≠０
マイナスのヴァージョンも試す
x=-1代入
P(-1)=2・(-1)³+9・(-1)²+13・(-1)+6=15-15=0
見つけた！
見つけたら　因数定理！
x=-1代入で =０になる式は因数に　{x-(-1)}=(x+1)を持つ！
ゆえに　P(x)は(x+1)で割り切れる
そこで
{(2x^3)+(9x^2)+13x+6}÷(x+1)を実行
筆算しても良いし、組み立て除法でもよい
組み立て除法なら

２　９　１３　６　｜-１
　ー２　ー７　ー６
ーーーーーーーーーーーー
２　７　６　　０
　
→→→　商は2x²+7x+6 あまり０
ゆえに
{(2x^3)+(9x^2)+13x+6}÷(x+1)=2x²+7x+6
⇔{(2x^3)+(9x^2)+13x+6}=(2x²+7x+6)(x+1)
あとは　(2x²+7x+6)が因数分解可能なら因数分解して完了（たすき掛けでも、先ほどの要領の因数定理でもよい）