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自然数 n に対して 2n+1 次方程式
Σ[k=0→2n+1] (x^k)/k! = 0
が有理数解をもたないことの証明
を教えてください。

質問者からの補足コメント

  • つらい・・・

    z で何回割り切れるのですか?
    もう少し詳しく、もう少し先まで、解説お願いします。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/05/22 10:28

A 回答 (3件)

ここの掲示板には書ききれない程深い内容を含んだ質問なので結論まで出すとなると、こんな場所では到底要求しえないものがありますね。

大部分は高校生の宿題から大学初級の演習問題なら答えられるぞって人が楽しみながら回答してますから。
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この回答へのお礼

つらい・・・

私も楽しみながら回答できるようなレベルになってみたいです。

お礼日時:2021/05/26 20:20

左辺の対数を取ると


(1+2+3+•••2n+1)logx-log2!-log3!-•••-log(2n-1)!
=(n+1)(2n+1)logx-Σ(k=2~2n+1)(log2+log3+•••+logk)
ですかね。対数をとって0となることは無いのでこの書き方にしていい点はないかもしれません。ですが、二項目のlogの組み合わせを少し書いた印象はすごいことになってました。
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この回答へのお礼

ありがとう

参考にさせていただきます。

お礼日時:2021/05/26 21:27

↓これの No.2 の [*] の定理を参考してください。


https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12365996.html

Σ[k=0→2n+1] (x^k)/k! = 0 の両辺に (2n+1)! を掛けると
整数係数の Σ[k=0→2n+1] {(2n+1)!/k!}x^k = 0 になる。
これが有理数解を持つとすれば、[*] より候補は
x = ((2n+1)!/0!)の約数)/((2n+1)!/(2n+1)!の約数)
 = ±((2n+1)!の正の約数) に限られる。

x > 0 では方程式が満たされないことは自明なので
x = -y {yは(2n+1)!の正の約数} を代入すると、
Σ[k=0→2n+1の偶数] {(2n+1)!/k!}y^k = Σ[k=0→2n+1の奇数] {(2n+1)!/k!}y^k
と変形できる。 ←[#]
1 から 2n+1 までの自然数中で y の約数になっているもの
のひとつを z と置くと、[#] の両辺は z で何回割り切れるだろうか?
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

うーん・・・

> [#] の両辺は z で何回割り切れるだろうか?

何回割り切れるのでしょう…?
よくわかりませんでした。

たとえば2n+1=7で
y^7+(7!/5!)y^5+(7!/3!)y^3+7!y
=(7!/6!)y^6+(7!/4!)y^4+(7!/2!)y^2+7!
としてみてもzで何回割り切れるのかよくわかりませんでした…。

もう少し詳しく教えてください…。

お礼日時:2021/05/19 15:52

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