gooドクター有料プランが1ヶ月間無料!

3つの正の数x,y,zがx+y+z-xyz=2をみたしているならば、
x,y,zのうち少なくともひとつは1以下であることを示せ。

簡単なことかもしれませんが、わかりませんでした。
教えてください。よろしくお願いいたします。

gooドクター

A 回答 (5件)

x,y,z>1 と仮定すると、



0
=2-(x+y+z)+xyz
=(x-1)(y-1)(z-1)+{(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1)}
>0

となり、矛盾。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとう

すごいです…!!
こんなに綺麗に解けるんですね…。

お礼日時:2021/05/20 21:21

命題の対偶を調べます。


対偶は、x、y、zは全て1を越えていれば、x、y、zはx+y+z-
xyz=2を満たさない。
x>1、y>1、z>1
とすると

x+y+z-xyz=2
↓両辺にxyz-z-2を加えると
x+y-2=xyz-z
x+y-2=z(xy-1)
↓xy-1>0だから
↓両辺をxy-1>0で割ると
(x+y-2)/(xy-1)=z

xy-1-(x+y-2)=xy-x-y+1=(x-1)(y-1)>0
だから
xy-1>x+y-2
↓xy-1>x+y-2=x-1+y-1>0だから
↓両辺をxy-1で割ると
1>(x+y-2)/(xy-1)
↓(x+y-2)/(xy-1)=zだから
1>z となって、仮定z>1と矛盾するので、x+y+z-xyz=2は成り立たない。
よって、命題は正しい。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます。
とても参考になりました!

お礼日時:2021/05/20 21:00

x>1


y>1
と仮定する

x+y+z-xyz=2
↓両辺にxyz-z-2を加えると
x+y-2=xyz-z
x+y-2=z(xy-1)
↓xy-1>0だから
↓両辺をxy-1>0で割ると
(x+y-2)/(xy-1)=z

xy-1-(x+y-2)=xy-x-y+1=(x-1)(y-1)>0
だから
xy-1>x+y-2
↓xy-1>x+y-2=x-1+y-1>0だから
↓両辺をxy-1で割ると
1>(x+y-2)/(xy-1)
↓(x+y-2)/(xy-1)=zだから
1>z

z<1
    • good
    • 0
この回答へのお礼

助かりました

とてもよく理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時:2021/05/19 17:16

x=y=z=1 ならば 3-1=2 で成り立ちますね。


x=y=z=0.9 ならば 2.7-0.279>2 で、
x=y=z=0.1 ならば 0.3-0.003<2 ですから、
0.1 から 0.9 の間に、条件式を満たす 値があることになるのかな。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

どう思う?

どうなのでしょうか…?

お礼日時:2021/05/19 17:10

xは1、yは1、zは-2


じゃないの?
直感です。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

プンプン

x,y,zは正の数です…。

お礼日時:2021/05/19 15:07

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

gooドクター

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング