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f(x)=0 (0≦x<1) または1(x=1)が、x=1で不連続であることを示せません。

ε=1/2として示したいのですが、、、。

gooドクター

A 回答 (2件)

ε=1/2が存在して


任意のδ>0に対して
x=1/(1+δ)とすると
|x-1|=δ/(1+δ)<δ
0<1/(1+δ)=x<1だから
f(x)=0
|f(x)-f(1)|=|f(x)-1|=1>1/2=ε
だから
∃ε{∀δ>0 →∃x(|x-1|<δ&|f(x)-f(1)|≧ε)}
だから
f(x)はx=1で不連続
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連続であるとするなら、


ヨδ>0 s.t. |f(1)-f(1-δ)|<1-1/2=1/2 
が存在するはずですが、
f(1)=1 で f(x)=0 ∀ 0≼x<1 ですので、
f(1-δ)-f(1)=1 ∀ δ>0 
⇒f(x)はx=1において連続ではない

関数の定義域の問題があって、完ぺきではないですが、
こんな感じでは、
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