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2物体の衝突において反発係数が1であることとエネルギー保存則が等価であることを証明しようと思ったのですが、 できなくて困っているのでご教授していただけると助かります。

物体A(質量m), B(質量M)の衝突前の速度をそれぞれvA, vBとし、物体A, Bの衝突後の速度をそれぞれvA', vB'とし計算を進めようとしました。

反発係数の式
-1=(vA'-vB')/vA-vB ①

エネルギー保存則
(1/2)mvA^2+(1/2)MvB^2=(1/2)mvA'^2+(1/2)MvB'^2 ②

②式を変形して①式にしようとしたのですが、さっぱり式変形が思いつきませんでした。そもそもなんですが、反発係数が1であることとエネルギー保存則が等価であるということは②式を式変形したら①式になるということで良いんですよね?

gooドクター

A 回答 (4件)

No.3 です。

計算は面倒なだけど、やってみると次のようになります。

運動量保存の式は
 m*vA + M*vB = m*vA' + M*vB'    ③
です。

一般に3次元の運動であれば各々の「速度」をベクトルとして扱いますが、簡単のため「1次元の運動(すべてが同じ直線上)」とすれば、①から
 vB - vA = vA' - vB'
→ vB' = vA' + vA - vB    ④
これを③に代入すれば
 m*vA + M*vB = m*vA' + M*(vA' + vA - vB)
→ (m + M)vA' = (m - M)vA + 2M*vB
→ vA' = [(m - M)vA + 2M*vB]/(m + M)   ⑤

従って④は
 vB' = [(m - M)vA + 2M*vB]/(m + M) + vA - vB
   = [(m - M + m + M)vA + (2M - m - M)vB]/(m + M)
   = [2m*vA + (M - m)vB]/(m + M)    ④'

衝突後の運動エネルギーは
 E' = (1/2)m(vA')^2 + (1/2)M(vB')^2
なので、これを④', ⑤で書き換えれば

 E' = (1/2)m{[(m - M)vA + 2M*vB]/(m + M)}^2 + (1/2)M{[2m*vA + (M - m)vB]/(m + M)}^2
  = (1/2)m{(m - M)^2*(vA)^2 + 4M(m - M)vA*vB + 4M^2*(vB)^2}/(m + M)^2 + (1/2)M{4m^2(vA)^2 + 4m(M - m)vA*vB + (M - m)^2*(vB)^2}/(m + M)^2
  = (1/2){(m^3 - 2m^2*M + mM^2 + 4m^2*M)(vA)^2 + [4mM(m - M) + 4mM(M - m)]vA*vB + (4mM^2 + M^3 - 2mM^2 + m^2*M)(vB9^2}/(m + M)^2
  = (1/2){(m^3 + 2m^2*M + mM^2)(vA)^2 + (M^3 + 2mM^2 + m^2*M)(vB9^2}/(m + M)^2
  = (1/2){m(m + M)^2*(vA)^2 + M(m + M)^2*(vB)^2}/(m + M)^2
  = (1/2)m(vA)^2 + (1/2)M(vB)^2

となって、衝突前の運動エネルギーに等しいことが分かります。
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「2物体の衝突」のような「外力が働かない、内力だけの現象」では、「運動量が保存する」という基本的な関係を使わないと求まりません。



運動量保存の式は
 m*vA + M*vB = m*vA' + M*vB'    ③
です。

これと反発係数の式①から vA', vB' を vA, vB で表わして、衝突後の運動エネルギーの式を立て、それがどのように整理されるかを見ていけば、衝突後の運動エネルギーが、衝突前の運動エネルギーとどのような関係になるかが導けます。
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これはよく知られたように、②を直接計算するよりも差を求めて、


vA',vB'をvA,vBで表して整理するのが良いです。

https://www.keirinkan.com/kori/kori_physics/kori …
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重心が静止している系では


つまり
mva+Mvb=mva'+Mvb'=0 では
va=-(M/m)vb
va'=-(M/m)vb'
eを反発係数とすると
va'=-eva
vb'=-evb
反発係数1以下ではエネルギーが減ってしまうのは明瞭ですし
e=1の時②が成立するのも簡単にわかります。

e=1の時
va=-(M/m)vb
va'=(M/m)vb
vb'=-vb

ですが、この系に対して速度vで運動する慣性系では
それぞれ
va→va-v
vb→vb-v
va'→va'-v
vb'→vb'-v
に見える筈です。この場合でも②が保たれることを示せば
証明終了です。手をちょろっと動かせば簡単に確認できます。

運動量保存のからむ問題では
まず全運動量=0 でどうなるかを求め
座標変換で一般化する
というのはよく使われる定跡です。
多くの場合最初に格闘する数式が単純になり
見通しがとても良くなります。
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