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恒等式について質問です
高校数学の教科書を見ると、恒等式とはすべてのxについて成り立つ等式のことである、と書いてあります。でも、それって等式の変数が1変数のときについてしか述べてないですよね?それなら、等式の変数が2つ以上のときはどうなるのですか?

例えば、a+b+c=0はどうなのですか?
また、a+b+c=0の下で、a^3+b^3+c^3=3abcはどうなのですか?

U={(a、b、c)|a+b+c=0}としたとき、命題∀(a、b、c)∈U[a^3+b^3+c^3=3abc]は真となりますが、命題∀(a、b、c)∈(実数全体)[a^3+b^3+c^3=3abc]は偽ですよね?

あとそもそもなのですが、方程式の定義って何ですか?例えば2x+3y+2=x−4y+7みたいなのって、「方程式」と呼べるのでしょうか?解が無限集合になってしまいますので。例えば、x^2−3x+2=0みたいな、解が有限集合となる等式が「方程式」なのは分かるのですが。n変数の等式を満たすn変数の組が存在して、その組が有限集合でない場合、それは方程式と呼べるのでしょうか?

なんていうか、解(というより、条件を満たす変数の組)が無限集合であれば恒等式、解が有限集合であれば方程式みたいな風に勘違いしているような自分がいます。

方程式と恒等式の違いについて、定義を明確にしながらご教示頂きたいです。よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (5件)

このサイトを眺めていると、「等式は「方程式」や「恒等式」に分類される」と誤解していて混乱しちゃう人が時々いるように思います。



 「p∈Xであるとする。f(p)=0は恒等式である」と書いてあれば、それは
  ∀p(p∈X ⇒ f(p)=0)
という命題を表していて、それだけの意味。例えば
「(a,b)∈R×Rであるとする。a+b=0は恒等式である」と書いてあれば、それは
  ∀(a,b)((a,b)∈R×R ⇒ a+b=0)
(あるいは
  ∀a∀b((a∈R∧b∈R) ⇒ a+b=0)
と書いても同じだが)という命題。(もちろん、この命題は偽だけど、真偽は「恒等式」とはどういう意味か、って話とは関係がない。)全称命題のうち 「∀p(p∈X ⇒ B(p)) という形をしていて述語B(p)が等式」の場合だけを、特別に「B(p)は恒等式だ」と表現することがある、ってことです。

 「p∈Xであるとする。f(p)=0, g(p)=0, .... z(p)=0」とだけ書いてあれば、それは一つの述語 (f(p)=0 ∧ g(p)=0 ∧ .... ∧ z(p)=0) に過ぎず、なのでp(ただしp∈X)を具体的に与えれば命題になり、その真偽はpが何であるかによる。このような、(定義域の指定「p∈Xであるとする」を除いた部分が)等式(の連言)で表される述語を「方程式」と呼ぶ習慣です。
 そしてたまさか、その等式は全称命題にしたら真になる、ってことが明らかな場合には、(その方程式は恒等式に他ならないので、「方程式」と呼ぶまでもなく)「恒等式」と呼んで済ませることが多い。(「13は整数で、素数です」と言ったら「整数」は冗長で、言うまでもない、ってことと同様の事情。)だから、「恒等式でない等式」は「方程式」と呼ばれるし、また、「方程式」は大抵は恒等式ではない。

 「p∈Xであるとする。f(p)=0, g(p)=0, .... z(p)=0を解け」と書いてあれば、これは「方程式の求解」と呼ばれるタイプの問題で、「解の集合
   { p | p∈X ∧ f(p)=0 ∧ g(p)=0 ∧ .... ∧ z(p)=0}
をなるべく具体的に(なるべく構成的に)書いてごらん」という意味です。例えば
 「x∈Rであるとする。x^2 - 1 = 0 を解け」なら、
  {1, -1}
が解の集合ですね。 (これを「x=1, -1」なんて書くのが習慣になっているから、「 "," はorなのかandなのか?」なんてことで悩む人が時々出る。)なお、xを「未知数」と呼ぶのも、解があるに違いないという予断のもとで「具体的には未知だ」と言っているだけの、さしたる意味のない習慣。(「x∈Rであるとする。x^2 + 1 = 0を解け」なら、
  ∅
が解の集合、「x∈Rであるとする。x = xを解け」なら
  R
が解の集合だけど、これらの場合にxを「未知数」と呼ぶの、違和感ないですかね?)

 ちなみに、方程式は解かなきゃ意味ないか、というとそうでもない。解の存在条件を考えたり、方程式の解が満たす(はずの)性質に注目して分類したり、あるいは方程式同士の関係を調べたり、などなど、いろんな扱われ方をする。要するに述語の一種だというだけのことなんで、どう扱ったっていいわけで。

 ま、だいたいこんな感じです。いろんな習慣的な言語表現があるというだけの話で、もちろんいつでも厳密に表せるのだけれども、楽チンだから習慣を利用する。「恒等式」「方程式」もその類です。定義がどうとか、悩むところじゃないす。
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「未知数が特定の値の時にだけ成り立つ等式」だと、


解の存在しない方程式が漏れてしまうね。
解が無数に在る方程式もちょっと怪しい感じになる。

方程式は、「恒等式ではない等式」が妥当だと思う。
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例えば、2変数の恒等式はこれ



(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

任意a、bに対して両辺が常に等しい式。

0・a+0・b+0・c=0

は恒等式だけど、解が不定の方程式とも言える。
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方程式とは他の回答にもあるように「未知数が特定の値の時にだけ成り立つ等式」となりますが「解が有限個でなければならない」と言った条件はありません。

解が無限個であったとしても、未知数の値が特定の場合にしか成り立たないのであればそれは恒等式ではなく方程式です。分かりやすい例を挙げれば

x=x

はxに好き勝手な値を入れても成り立つので恒等式ですが

x=y

となると、xとyに勝手な値を入れたら成り立たなくなります。つまりこちらは恒等式ではなく方程式です。
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方程式:


1個以上の未知数を含み、その未知数が特定の値をとるときだけに成立する等式。
f(x,y,z,・・・)=0は方程式。特定のx,y,z,・・・・の時だけ=0が成立する、と言ってる式だから方程式。

a+b+c=0は方程式、a=0,b=0,c=0の時とか、a=-(b+c)の時とかに、a+b+c=0が成立つ。

恒等式
1個以上の未知数を含み、その未知数が任意値をとっても成立する等式。
0a+0b+0c=0は恒等式。
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