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関数f(x)が点aで連続であり、c(実数)とする。
この時cf(x)も点aで連続であることをε論法を用いて表せ。
という、問題です。習ったばかりの範囲であり、出来そうにありません。わかる方教えていただけないでしょうか

gooドクター

A 回答 (4件)

>関数f(x)が点aで連続であり、c(0でない実数)とする。


>この時cf(x)も点aで連続であることをε論法を用いて表せ。
答え№1、2さん。で良いと思いますが、№2さんのは
ε/(1+|c|)>0に対しては余計と思います。ε/(1+|c|)>0なら
ε>(1+|c|)>1となって、任意のε>0とは言えなくなると思います。
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lim[x→a]f(x)=bの時、


∀ε>0,∃δ>0,∀x,|x-a|<δ⇒|f(x)-b|<εが成り立っている。
これを利用すれば、№1、2さんになります。
c=0の時は、cf(x)=0でxの関数でないので、c≠0の条件が必要と思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
つまり、他の解答者さんの答にc≠0と記入すればいいのでしょうか?
それともそれにともなう式を新たに考えなくてはならないのでしょうか

お礼日時:2021/05/28 17:08

c=0の時に注意!



関数f(x)が点aで連続だから
任意のε>0に対して
ε/(1+|c|)>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε/(1+|c|)だから
↓両辺に|c|をかけると
|cf(x)-cf(a)|≦ε|c|/(1+|c|)

|c|<1+|c|
↓両辺を1+|c|で割ると
|c|/(1+|c|)<1
↓両辺にεをかけると
ε|c|/(1+|c|)<ε
だから

|cf(x)-cf(a)|<ε

だから
cf(x)も点aで連続
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f(x) が点 a で連続というのは、


∀ε>0,∃δ>0,∀x,|x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε.
これを変形して、
∀ε>0,∃δ>0,∀x,|x-a|<δ⇒|cf(x)-cf(a)|<|c|ε.
だから、ε₁ に対して ε = ε₁/|c| と置けば
∀ε₁>0,∃δ>0,∀x,|x-a|<δ⇒|cf(x)-cf(a)|<ε₁.
これは cf(x) が x=a で連続だということ。
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