【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

任意の自然数nに対して
(1/2)(3/4)(5/6)…((2n-1)/2n) < 1/√(3n)
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。

という問題なのですが、帰納法がうまく使えず
難航しています。教えて下さい。

A 回答 (10件)

#3です


御免なさい、うまくいっていませんでしたね
ならこのうまくいかなかった反省
(√{(4k²+4k+1)/(4k²+4k) では行き過ぎ その手前の状況を調べたい!)を生かして
うまくいきそうな、1クッションを考えてみることです
例えば
1/2・3/4・5/6・・・(2n-1/2n)<1/√(3n+1)< 1/√(3n)
という具合に
これなら先ほどの不具合を回避できそうな予感です・・・
1/2・3/4・5/6・・2n-1/2n<1/√(3n+1)…①

[a] n=1で①成立ではないので
=も付け加えて 変更!!
1/2・3/4・5/6・・2n-1/2n≦1/√(3n+1)…①'

[a] n=1で、①'成立
[b]n=kで①'成立と仮定
1/2・3/4・5/6・・2k-1/2k≦1/√(3k+1)
n=k+1では
1/2・3/4・5/6・・(2k-1/2k)(2k+1/2k+2)√(3k+4)
={1/2・3/4・5/6・・(2k-1/2k)√(3k+1)}
x{(2k+1/2k+2)√(3k+4)/√(3k+1)}
≦{(2k+1/2k+2)√(3k+4)/√(3k+1)}
=√{(4k²+4k+1)(3k+4)/(4k²+8k+4)(3k+1)
=√(12k³+28k²+19k+4/12k³+28k²+20k+4)<1
⇔1/2・3/4・5/6・・(2k-1/2k)(2k+1/2k+2)<1/√(3k+4)
n=k+1の時も成立①'成立
関連して ①も成立
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます…!!
すごいです。

言われてみると自然な発想かもしれませんが、
私には全然思いつきませんでした。

お礼日時:2021/05/28 18:55

1/2・3/4・5/6・・・((2n-1)/2n)≦1/√(3n+1)< 1/√(3n)


だね>#9. 等号に注意.
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この回答へのお礼

解決しました

わかりました。

お礼日時:2021/05/28 18:58

たびたび 御免


①は関係なかった

正しくは
関連して 任意のnで、
1/2・3/4・5/6・・・(2n-1/2n)<1/√(3n+1)< 1/√(3n)も成立
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この回答へのお礼

Thank you

強い不等式を示す方が帰納法で示しやすいとは…
思いも寄らぬ不思議さに驚きました。

このたびは本当にありがとうございました。

お礼日時:2021/05/28 18:57

#7締めを書き忘れました


関連して 任意のnで①も成立
当然、1/2・3/4・5/6・・・(2n-1/2n)<1/√(3n+1)< 1/√(3n)も成立
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます。
訂正されなくてもとてもわかりやすかったです。

お礼日時:2021/05/28 18:55

そっか、(1/2)(3/4)(5/6)…((2n-1)/2n)


の最後の項のn=n+1とするので、
f(n)(2n+1)/(2n+2) ですね、、、
まあでも、同じような感じでできるんじゃないかな
また後でやってみます
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この回答へのお礼

つらい・・・

よろしくお願いします…。

お礼日時:2021/05/28 12:55

> f(n+1)<(1/√(3n) )(2n)/2(n+1)


これは、
f(n+1)=f(n)(2n)/2(n+1) に f(n)< 1/√(3n) を当てはめた結果です。
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この回答へのお礼

どう思う?

聞き方が悪かったかもしれません…。

そもそも、
f(n+1)=f(n)(2n+1)/2(n+1)
ではないでしょうか…?

お礼日時:2021/05/28 12:45

しつれいしました、、、


f(n)< 1/√(3n) であるとき、
f(n+1)<1/√[3(n+1)]
f(n+1)=f(n)(2n)/2(n+1)<1/√[3(n+1)]
ですけど、
f(n)<1/√(3n) ですから、
f(n+1)<(1/√(3n) )(2n)/2(n+1)=(1/√(3n) )(n)/(n+1))<1/√[3(n+1)]
(1/√(3n) )(n)/(n+1))<1/√[3(n+1)]
n√[3(n+1)]<(n+1)√(3n)
3n²(n+1)<3(n+1)²n
n<n+1

ってかんじですかね?
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この回答へのお礼

うーん・・・

> f(n+1)<(1/√(3n) )(2n)/2(n+1)

ここは、

f(n+1)<(1/√(3n) )(2n+1)/2(n+1)

ではないでしょうか…?

お礼日時:2021/05/28 12:13

n=k+1の時の処理がpointでしょうか・・・




(1/2)(3/4)(5/6)…((2n-1)/2n) < 1/√(3n)・・・①について

[a] n=1のとき①が成り立つことを確認
→(1/2)<1/√3  ・・・OK

[b] <(差を取るのは難しいかも、ということで)比を取って大小比較>
n=kのとき①が成り立つと仮定すると
(1/2)(3/4)(5/6)…((2k-1)/2k) < 1/√(3k)
⇔(1/2)(3/4)(5/6)…((2k-1)/2k) √(3k)< 1・・・②
n=k+1のときを考えて
(1/2)(3/4)(5/6)…{(2k-1)/2k}{(2k+1)/2(k+1)}÷ 1/√(3k+3)
=(1/2)(3/4)(5/6)…{(2k-1)/2k}{(2k+1)/2(k+1)}・√(3k+3)
=(1/2)(3/4)(5/6)・・・{(2k-1)/2k}{(2k+1)/2(k+1)}
x{√(3k)/√(3k)}・√(3k+3)
=(1/2)(3/4)(5/6)・・・{(2k-1)/2k}√(3k)
x{(2k+1)/2(k+1)}{√(3k+3)/√(3k)}
<{(2k+1)/2(k+1)}{√(3k+3)/√(3k)} ←←←②利用の結果
=√{(2k+1)²(k+1)/4(k+1)²k}
=√{(2k+1)²/4(k+1)k}
=√{(4k²+4k+1)/(4k²+4k)<1
⇔(1/2)(3/4)(5/6)…{(2k-1)/2k}{(2k+1)/2(k+1)}< 1/√(3k+3)
n=k+1の時も成立
[a][b]より帰納的に①成立(計算ミスはご容赦ください)
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この回答へのお礼

うーん・・・

√{(4k²+4k+1)/(4k²+4k)}>1

ではないでしょうか…?

お礼日時:2021/05/28 12:10

>帰納法がうまく使えず・・・



どの様に使ったのかを 書いてくれると、
あなたの疑問に沿った 回答が期待できます。
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この回答へのお礼

プンプン

No.1 の方と同様です…。

それでは、私の疑問に沿った回答を期待しています。
よろしくお願いします。

お礼日時:2021/05/28 11:22

f(2)=3/8<1/√6


f(n+1)=f(n)・2(n+1)/2n<2(n+1)/2n√(3n)

だから、2(n+1)/2n√(3n)>1/[√3(n+1)]を示せばよい
? 2(n+1)/2n√(3n)>1/√[3(n+1)]
⇔ [2(n+1)/2n√(3n)]²>1/(3n+3)     n∈Zなので
⇔ (n+1)²/3n³>1/(3n+3)
⇔ (n+1)³>n³
という感じになりました。
あとは、証明として書けばよいだけです。

出てくる数がすべて自然数なので、二乗しても大小は変わらないというのがポイントですかね?
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この回答へのお礼

どう思う?

逆では…?

1/[√3(n+1)]>2(n+1)/2n√(3n)
を示すのでは…?

お礼日時:2021/05/28 11:17

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