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xy平面に二つの下に凸な曲線y=f(x)とy=g(x)がある。
また、f(x)もg(x)も全ての実数で微分可能であるとし、
これら二つの曲線はある一点のみで接しているとする。
その接点のx座標をaとする。
このとき、f(x)-g(x)はx=aの前後で符号を変えない、
というのは正しいですか?

gooドクター

A 回答 (4件)

あれ? 「接する」はわたしの「ふつう」と同じだ.... まぁいいや.



それを前提にして質問に戻れば, 実はちょっと考えればわかる通り
(の「通り」を勘違いしたやつがいうのもアレだが)
そんな決まりはない.

状況をイメージするなら接点の前後に 2本ずつ線があるはずで, それらを y=f(x) と y=g(x) にどう帰属させるかに自由度がある. 「どうしても式がないといや」というなら, 例えば
f(x) = (x が正なら x^2, そうでなければ 0),
g(x) = (x が負なら x^2, そうでなければ 0)
を考えればいい.
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この回答へのお礼

ありがとう

ですよね…。

円と放物線でも同様なことが言えそうな気がしますが…。

お礼日時:2021/05/31 15:51

その「結論」がなにの結論なのか想像できないんだけど, いずれにしてもあなたが「接する」をどう定義しているのかがわからないので答えら

れない.
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この回答へのお礼

うーん・・・

えっ……、なにをおっしゃっているのですか!?

結論とは、
>f(x)-g(x)はx=aの前後で符号を変えない
が正しいかどうか、ということです。
正しければ証明を、正しくなければ具体的な反例を!

>「接する」をどう定義
思わず膝から崩れ落ちそうになりました…。
f(a)=g(a)かつf'(a)=g'(a)をみたすaがx=aにおける点で接するということの定義です。

お礼日時:2021/05/30 07:31

いや, なにぶん


やはり接するということの定義をもう一度確認された方がよろしいのでは…?
って言われたのでねぇ.

私としては標準的な定義を使っているつもりなんだけど, そういわれたら念のため「確認」したくなったとしても不思議じゃないでしょ?
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この回答へのお礼

うーん・・・

それで、結論はどうなりましたでしょうか…?

お礼日時:2021/05/29 21:08

いちおうかくにん.



「これら二つの曲線はある一点のみで接している」ことの数学的な定義はどうしている?
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この回答へのお礼

うーん・・・

なにを確認されたいのかいまいちよくつかめません…。

ふつうに、接点がひとつだけあるということですが…。

お礼日時:2021/05/29 20:12

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