極限の計算について lim(n→∞)(1+x/n)^n=e^x ですが、 n→∞ のとき、f(x)→

極限の計算について
lim(n→∞)(1+x/n)^n=e^x
ですが、
n→∞ のとき、f(x)→α (定数) ならば
lim(n→∞)(1+f(x)/n)^n=e^α
は成り立つでしょうか？
また、成り立つ場合の証明をお教えください。

質問者からの補足コメント

• ありものがたりさんの最初の回答で、α≧0 と α<0 に分ければ良いのでは？

    補足日時：2021/05/30 12:09

• f(x)→0 ですが、f(x)≠0 だから大丈夫ではないでしょうか？

    補足日時：2021/05/30 12:13

• f(x)→0 であっても、有限の x に対して、
  f(x)≠0 ならば良いですね？

    補足日時：2021/05/30 12:33

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/30 11:28

成り立ちます。

(1+f(x)/n)^n = { (1+f(x)/n)^(n/f(x)) }^f(x) なので、
y = n/f(x) と置けば
lim[n→∞](1+x/n)^n = { lim[y→∞](1+1/y)^y }^lim[n→∞]f(x)
　　　　　　　　　　= e^α.

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/30 12:37

＞ f(x)→0 であっても、有限の x に対して、

＞ f(x)≠0 ならば良いですね？

lim[ｎ→∞]f(x)=0 であっても
有限の n に対して f(x)≠0 ならば良いです。
そんな仮定、どこかにありました？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/30 12:20

＞ f(x)→0 ですが、f(x)≠0 だから大丈夫ではないでしょうか？

そんなこと、どこかに仮定してありましたっけ。
例えば、 f(x) = (1/n)sin(nπ/2) とかだったらどうします？

f(x)→α≠0 であれば、n を十分大きくとれば
f(x)≒α だから f(x)≠0 にできますが、
α=0 の場合は、そうはいきません。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/30 12:14

＞ α≧0 と α<0 に分ければ良いのでは？

いや、いや。
No.1 の計算は、 n/f(x) が登場しています。
n→0 に行く手前の有限の n で f(x)=0 になることがあっては
ダメなので、f(x)→α=0 の場合には使えません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/30 11:35

あ、 α = 0 の場合が抜けてた。

lim[n→∞]f(x) = 0 であれば、任意の正数 δ に対して
十分大きい n をとれば ｜f(x)｜ < δ が成り立つ。
(1-δ/n)^n < (1+f(x)/n)^n < (1+δ/n)^n となるので
この式で n→∞ とすれば、 No.1 の結果から
e^-δ ≦ lim[n→∞](1+x/n)^n ≦ e^δ.

δ は任意の正数だったので、ここで δ→+0 の極限をとれば、
１ ≦ lim[n→∞](1+x/n)^n ≦ １.
lim[n→∞](1+x/n)^n = 1 = e^0 となった。

この回答へのお礼

大変ありがとうございました。
α=0 のときは、y→+∞とy→-∞
に分けて、→e^α をしめしても良いですね！？

お礼日時：2021/05/30 12:03