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極限の計算について
lim(n→∞)(1+x/n)^n=e^x
ですが、
n→∞ のとき、f(x)→α (定数) ならば
lim(n→∞)(1+f(x)/n)^n=e^α
は成り立つでしょうか?
また、成り立つ場合の証明をお教えください。

質問者からの補足コメント

  • ありものがたりさんの最初の回答で、α≧0 と α<0 に分ければ良いのでは?

      補足日時:2021/05/30 12:09
  • f(x)→0 ですが、f(x)≠0 だから大丈夫ではないでしょうか?

      補足日時:2021/05/30 12:13
  • f(x)→0 であっても、有限の x に対して、
    f(x)≠0 ならば良いですね?

      補足日時:2021/05/30 12:33
gooドクター

A 回答 (5件)

成り立ちます。


(1+f(x)/n)^n = { (1+f(x)/n)^(n/f(x)) }^f(x) なので、
y = n/f(x) と置けば
lim[n→∞](1+x/n)^n = { lim[y→∞](1+1/y)^y }^lim[n→∞]f(x)
          = e^α.
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> f(x)→0 であっても、有限の x に対して、


> f(x)≠0 ならば良いですね?

lim[n→∞]f(x)=0 であっても
有限の n に対して f(x)≠0 ならば良いです。
そんな仮定、どこかにありました?
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> f(x)→0 ですが、f(x)≠0 だから大丈夫ではないでしょうか?



そんなこと、どこかに仮定してありましたっけ。
例えば、 f(x) = (1/n)sin(nπ/2) とかだったらどうします?

f(x)→α≠0 であれば、n を十分大きくとれば
f(x)≒α だから f(x)≠0 にできますが、
α=0 の場合は、そうはいきません。
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> α≧0 と α<0 に分ければ良いのでは?



いや、いや。
No.1 の計算は、 n/f(x) が登場しています。
n→0 に行く手前の有限の n で f(x)=0 になることがあっては
ダメなので、f(x)→α=0 の場合には使えません。
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あ、 α = 0 の場合が抜けてた。



lim[n→∞]f(x) = 0 であれば、任意の正数 δ に対して
十分大きい n をとれば |f(x)| < δ が成り立つ。
(1-δ/n)^n < (1+f(x)/n)^n < (1+δ/n)^n となるので
この式で n→∞ とすれば、 No.1 の結果から
e^-δ ≦ lim[n→∞](1+x/n)^n ≦ e^δ.

δ は任意の正数だったので、ここで δ→+0 の極限をとれば、
1 ≦ lim[n→∞](1+x/n)^n ≦ 1.
lim[n→∞](1+x/n)^n = 1 = e^0 となった。
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この回答へのお礼

大変ありがとうございました。
α=0 のときは、y→+∞とy→-∞
に分けて、→e^α をしめしても良いですね!?

お礼日時:2021/05/30 12:03

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