微分方程式について質問 (x³+5xy²)dx+(5x²y+2y³)dy＝0の微分方程式はどのように

微分方程式について質問

(x³+5xy²)dx+(5x²y+2y³)dy＝0の微分方程式はどのように解くことができますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/02 17:09

(x^3+5xy^2)dx+(5yx^2+2y^3)dy=0

P=x^3+5xy^2
Q=5yx^2+2y^3
P_y=10xy
Q_x=10xy
だから完全微分方程式
∫Pdx
=∫(x^3+5xy^2)dx
=(1/4)x^4+(5/2)x^2y^2+C

(∫Pdx)_y=5yx^2
Q-(∫Pdx)_y=2y^3
∫{Q-(∫Pdx)_y}dy=(1/2)y^4

F(x,y)
=∫Pdx+∫{Q-(∫Pdx)_y}dy
=
(1/4)x^4+(5/2)x^2y^2+(1/2)y^4=C

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2021/06/02 16:56

(x³+5xy²)dx+(5x²y+2y³)dy＝0の微分方程式は

(x³‐5xy²)dx+(5x²y+2y³)dy＝0ではありませんか？
そうならば、
dy/dx=-(x³－5xy²)/(5x²y+2y³)
y=vxと置いて、dy/dx=v+x*dv/dx
v+x*dv/dx=-(x³－5xy²)/(5x²y+2y³)=-(x³-5x³v)/(5x³v+2v³x³)
=-(1-5v²)/(5v+2v³)
x*dv/dx=(-1+5v²-5v²-2v⁴)/(5v+2v³)=-(2v²+1)/ (5v+2v³)
‐(5v+2v³)/(2v²+1)* dv=1/x*dx
-5v/(2v²+1)* dv-2v³/(2v²+1)* dv=1/x*dx
積分して
(‐5log(2v²+1))/4+(log(2v²+1)-2v²)/4=logx+C=logCx
-4 log(2v²+1))/4-v²/2=logCx
-log(2v²+1)-loge^( v²/2)=logCx
log1/((2v²+1) e^( v²/2))=logCx
1/((2v²+1) e^( v²/2))=Cx
x²/((2y²+x²) e^( y²/2x²))=Cx
((2y²+x²) e^( y²/2x²))=x/C