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大学の代数学の問題です

α=√(5+√3) のQ上の最小多項式f(X)、その最小分解体Lおよびガロア群Gal(L/Q)を求めよ

回答よろしくお願いします!

gooドクター

A 回答 (1件)

前回投稿に回答がついてないようなので、


解る範囲で書いてみます。

α^2 = 5 + √3 より (α^2 - 5)^2 = 3 が成り立つので、
α は消去多項式 f(x) = (x^2 - 5)^2 - 3 = x^4 - 10x^2 + 22 を持つ。
アイゼンシュタイン判定法で素数 2 を使えば、この f(x) は既約と判る。
よって、f(x) が α の最小多項式である。

f(x) が 4次式なので、最小分解体は Q(α,(1の原始4乗根)) の部分体である。
Q(α,i) の部分体は Q, Q(α), Q(i), Q(α,i) のどれかだが、
f(x) = 0 の根 ±√(5±√3) を全て含むものは、Q(α,i) しかない。

ガロア群は... ごめん、正直分かりません。
最小多項式が 4次なので、ガロア群は位数 4の群ですが...
クライン群ですかねえ?
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