最大最小問題、高校数学

http://kubojie.net/PDF/titech2003B-1Ans.pdf リンク先の問題（東工大2003後期1番）の（２）に関して、 S1^2＋S2^2＋S3^２＝S^２かつS1,S2,S3≧０の時、S1＋S2＋S3の最大値および最小値は、 最大値はコーシーシュワルツの不等式、最小値は線形計画法（座標空間上でS1＋S2＋S3＝ｋとおいて球面の第1象限と交点を持つようにｋを動かす）で求めましたが、 その際Ｓ１、Ｓ２、Ｓ３に対応した点Ｐ，Ｑがきちんと存在することは明らかなのでしょうか？ 最小値の場合はｘｙ平面上に三角形ＯＰＱがある場合が簡単にあげられますが、最大値の場合は難しいです。 ご教授いただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

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  リンク先の解答の方法だと明らかでしたね。すみません。
  実はP=(a,b,c),Q=(x,y,z)とおいてS^2＝1/4{(bz-cy)^2+(cx-az)^2+(ay-bx)^2}、S1＝1/2❘ay-bx❘などとおいて（１）を解いてしまったので、S1＝S2＝S3の条件を満たす(a,b,c)(x,y,z)の組の存在が自明ではない形になってしまいました。❘ay-bx❘＝bz-cy❘＝❘cx-az❘を満たす(a,b,c)(x,y,z)が存在することを示すのは難しいでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/06/02 01:01

No.2 ベストアンサー 回答者： cage64 回答日時： 2021/06/02 19:02

式2つで変数6なら余裕でしょう。

x=c=0 としてみたら、例えば b=a, z=y で満たすことがわかります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。解決できました。

お礼日時：2021/06/06 11:22

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/01 22:50

(1)の解答例の中に、S₁ = S|a|, S₂ = S|b|, S₃ = S|c| であることが示されている。

よって、コーシー・シュワルツの等号成立条件 S₁ = S₂ = S₃ が成り立つのは
|a| = |b| = |c| のときだと判る。 →n = (a,b,c) より、それは |a| = |b| = |c| = 1/√3
のときなのだが、そのような △OPQ が存在することは、自明だと思う。
それとも、具体的な P,Q の例示が必要なの？

この回答へのお礼

ありがとうございました。解決できました。

お礼日時：2021/06/06 11:22