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http://kubojie.net/PDF/titech2003B-1Ans.pdf リンク先の問題(東工大2003後期1番)の(2)に関して、 S1^2+S2^2+S3^2=S^2かつS1,S2,S3≧0の時、S1+S2+S3の最大値および最小値は、 最大値はコーシーシュワルツの不等式、最小値は線形計画法(座標空間上でS1+S2+S3=kとおいて球面の第1象限と交点を持つようにkを動かす)で求めましたが、 その際S1、S2、S3に対応した点P,Qがきちんと存在することは明らかなのでしょうか? 最小値の場合はxy平面上に三角形OPQがある場合が簡単にあげられますが、最大値の場合は難しいです。 ご教授いただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    リンク先の解答の方法だと明らかでしたね。すみません。
    実はP=(a,b,c),Q=(x,y,z)とおいてS^2=1/4{(bz-cy)^2+(cx-az)^2+(ay-bx)^2}、S1=1/2❘ay-bx❘などとおいて(1)を解いてしまったので、S1=S2=S3の条件を満たす(a,b,c)(x,y,z)の組の存在が自明ではない形になってしまいました。❘ay-bx❘=bz-cy❘=❘cx-az❘を満たす(a,b,c)(x,y,z)が存在することを示すのは難しいでしょうか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/06/02 01:01

A 回答 (2件)

式2つで変数6なら余裕でしょう。

x=c=0 としてみたら、例えば b=a, z=y で満たすことがわかります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。解決できました。

お礼日時:2021/06/06 11:22

(1)の解答例の中に、S₁ = S|a|, S₂ = S|b|, S₃ = S|c| であることが示されている。


よって、コーシー・シュワルツの等号成立条件 S₁ = S₂ = S₃ が成り立つのは
|a| = |b| = |c| のときだと判る。 →n = (a,b,c) より、それは |a| = |b| = |c| = 1/√3
のときなのだが、そのような △OPQ が存在することは、自明だと思う。
それとも、具体的な P,Q の例示が必要なの?
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ありがとうございました。解決できました。

お礼日時:2021/06/06 11:22

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