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「あるx∈Oなる開集合Oが存在してO⊂M」…①と「あるε>0が存在してB(a.ε)⊂M」…②

②→①は示せたのですが、①→②はどうやって示せばよいのでしょうか??

gooドクター

A 回答 (2件)

距離空間(S,d)


に対して
a∈S,ε>0
B(a,ε)={x|x∈S,d(a,x)<ε}
とする
D(d)={φ}∪{O⊂S|Oの任意の点aに対してB(a,ε)⊂OとなるようなB(a,ε),ε>0が存在する}

D(d)を定義すると
D(d)はSの位相となる
D(d)の要素を開集合という

a∈Oとなる開集合Oが存在してO⊂M
とすると
開集合の定義から
O∈D(d)だから
Oの任意の点aに対してB(a,ε)⊂OとなるようなB(a,ε),ε>0が存在する
B(a,ε)⊂O⊂M

B(a,ε)⊂M
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任意の開集合 O に対して、O ⊃ B(x,ε) となる開球 B(x,ε) が存在する


ことを示せばよいですね。
x と (Oの補集合) 内の点 p との距離を考えましょう。
距離は非負実数なので、下界 0 を持ちます。
この距離の下限を β とすると、
β > 0 の場合、0 < ε < β となる ε をとれば、O ⊃ B(x,ε) です。
β = 0 の場合、(Oの補集合) 内に p=x となる p があることになり、
       x∈(Oの補集合です。それは、x∈O に反します。
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