偏微分・全微分

以下の問題について回答があっているかどうか判断して欲しいです。
(1)(2)は偏微分、(3) (4)は合成関数の偏微分 です

(1) f(x, y) = x^2y^3　の時
f_x = 2xy^3, f_y = 3x^2y^2

(2) f(x, y) = e^xcosy　の時
f_x = e^xcosy, f_y = -e^xsiny

(3) f(x, y) = cos(xy), x(t) = t^3, y(t) = e^2t　の時
f(x, y) = -(3t^2y+2e^2t)sin(xy)

(4)f(x, y) = e^2xy, x(u, v) = u-v, y(u, v) = uv　の時
d/du f(x(u, v), y(u, v)) = (x + vy)2e^2xy
d/dv f(x(u, v), y(u, v)) = (uy - x) 2e^2xy

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/03 02:07

(1) あってる。

(2) f(x, y) = (e^x)(cos y) という式なのであれば、あってる。
(3) 偏微分じゃなく、t で常微分するのでは？
　　y = e^(2t) でよいのなら、
　　(d/dt)f(x,y) = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)
　　　　　　　= (-y sin(xy))(3t^2) + (-x sin(xy))(2e^(2t))
　　　　　　　= -(3yt^2 + 2xe^(2t))sin(xy).
　　微妙に違うかな。
(4) 偏微分は、d でなく ∂ で書いたほうがよいです。
　　f(x, y) = e^(2xy) でよいのなら、
　　(∂/∂u)f(x, y) = (∂f/∂x)(∂x/∂u) + (∂f/∂y)(∂y/∂u)
　　　　　　　　= 2(y+xv)e^(2xy),
　　(∂/∂v)f(x, y) = (∂f/∂x)(∂x/∂v) + (∂f/∂y)(∂y/∂v)
　　　　　　　　= 2(-y+xu)e^(2xy).
　　やはり、ちょっと違うようですね。

この回答へのお礼

ありものがたりさん回答ありがとうございます。
(4)は∂z/∂ x と∂ z/∂ yの値が逆だったことに気づきました。

お礼日時：2021/06/03 02:28