消去法

a = x/y - y/x
b = y/z - z/y
c = z/x - x/z

これら3式から x, y, z を消去して
a, b, c の関係式を得る方法のうち
手計算でなるべく簡単にできるもの
が知りたいです。お願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/07 19:39

a=x/y-y/x

↓両辺を2乗すると
a^2=(x/y-y/x)^2
a^2=(x/y)^2+(y/x)^2-2
↓両辺に2を加えると
a^2+2=(x/y)^2+(y/x)^2…(1)
↓両辺を2乗すると
(a^2+2)^2={(x/y)^2+(y/x)^2}^2
a^4+4a^2+4=(x/y)^4+(y/x)^4+2
↓両辺から2を引くと
a^4+4a^2+2=(x/y)^4+(y/x)^4…(2)

b=y/z-z/y
↓両辺を2乗すると
b^2=(y/z-z/y)^2
b^2=(y/z)^2+(z/y)^2-2
↓両辺に2を加えると
b^2+2=(y/z)^2+(z/y)^2…(3)

c=z/x-x/z
↓両辺を2乗すると
c^2=(z/x-x/z)^2
c^2=(z/x)^2+(x/z)^2-2
↓両辺に2を加えると
c^2+2=(z/x)^2+(x/z)^2…(4)
↓両辺を2乗すると
(c^2+2)^2={(z/x)^2+(x/z)^2}^2
c^4+4c^2+4=(z/x)^4+(x/z)^4+2
↓両辺から2を引くと
c^4+4c^2+2=(z/x)^4+(x/z)^4…(5)

(1)と(4)をかけると
(a^2+2)(c^2+2)={(y/x)^2+(x/y)^2}{(x/z)^2+(z/x)^2}
a^2c^2+2a^2+2c^2+4=(y/z)^2+(z/y)^2+(yz)^2/x^4+x^4/(yz)^2
↓(3)を代入すると
a^2c^2+2a^2+2c^2+4=b^2+2+(yz)^2/x^4+x^4/(yz)^2
↓両辺からb^2+2を引くと
a^2c^2+2a^2+2c^2-b^2+2=(yz)^2/x^4+x^4/(yz)^2
↓これに(3)をかけると
(b^2+2)(a^2c^2+2a^2+2c^2-b^2+2)={(y/z)^2+(z/y)^2}{(yz)^2/x^4+x^4/(yz)^2}
b^2(a^2c^2+2a^2+2c^2-b^2)+2a^2c^2+4a^2+4c^2+4=(x/y)^4+(y/x)^4+(z/x)^4+(x/z)^4
↓これに(2)(5)を代入すると
b^2(a^2c^2+2a^2+2c^2-b^2)+2a^2c^2+4a^2+4c^2+4=a^4+4a^2+2+c^4+4c^2+2
↓両辺から2a^2c^2+4a^2+4c^2+4を引くと
∴
b^2(a^2c^2+2a^2+2c^2-b^2)=a^4-2a^2c^2+c^4

b^2(a^2c^2+2a^2+2c^2)-b^4=a^4-2a^2c^2+c^4

b^2(-a^2c^2-2a^2-2c^2)+b^4=-a^4+2a^2c^2-c^4

この回答へのお礼

ありがとうございます…！！
凄すぎるとしか言いようがありません……。

お礼日時：2021/06/08 08:34

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/06 10:51

なるほど考えが足りなかったようです。

この回答へのお礼

いえいえ…、ありがとうございます。

お礼日時：2021/06/06 10:53

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/06 10:06

a=x/y-y/x

b=y/z-z/y
c=z/x-x/z
Z=x/y
X=y/z
Y=z/x
とすると
a=Z-1/Z
b=X-1/X
c=Y-1/Y
aZ=Z^2-1
bX=X^2-1
cY=Y^2-1
Z^2-aZ-1=0
X^2-bX-1=0
Y^2-cY-1=0
(Z-a/2)^2=(4+a^2)/4
(X-b/2)^2=(4+b^2)/4
(Y-c/2)^2=(4+c^2)/4
Z={a±√(4+a^2)}/2
a-√(4+a^2)<0<a+√(4+a^2)
X={b±√(4+b^2)}/2
b-√(4+b^2)<0<b+√(4+b^2)
Y={c±√(4+c^2)}/2
c-√(4+c^2)<0<c+√(4+c^2)
ZXY=(x/y)(y/z)(z/x)=1
Y=1/(ZX)だから
ZX={a+√(4+a^2)}{b+√(4+b^2)}/4>0
または
ZX={a-√(4+a^2)}{b-√(4+b^2)}/4>0
の時
Y=c+√(4+c^2)/2

ZX={a+√(4+a^2)}{b-√(4+b^2)}/4<0
または
ZX={a-√(4+a^2)}{b+√(4+b^2)}/4<0
の時
Y=c-√(4+c^2)/2
∴
{a+√(4+a^2)}{b+√(4+b^2)}{c+√(4+c^2)}=8
または
{a+√(4+a^2)}{b-√(4+b^2)}{c-√(4+c^2)}=8
または
{a-√(4+a^2)}{b+√(4+b^2)}{c-√(4+c^2)}=8
または
{a-√(4+a^2)}{b-√(4+b^2)}{c+√(4+c^2)}=8

この回答へのお礼

その4つの式を以下の1つの式へ変形(?)することはできますか(たぶんできると思うのですが、どうやればいいのでしょう)？
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Eliminate% …

お礼日時：2021/06/06 10:56

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/06 09:19

よくわからないのですが

x/y=y/z=z/x=1のとき、
　(x/y)(y/z)(z/x)={a±√(a²+4)}{b±√(b²+4)}{c±√(c²+4)}=±1
となり、まずい気がします。

この回答へのお礼

たとえば、x=1, y=-2, z=-4 とすると
a=(1/-2)-(-2/1)=-1/2+2=3/2
b=(-2/-4)-(-4/-2)=1/2-2=-3/2
c=(-4/1)-(1/-4)=-4+1/4=-15/4
ですよね？このとき、
a+√(a²+4)=3/2+√(9/4+4)=3/2+5/2=4
b+√(b²+4)=-3/2+√(9/4+4)=-3/2+5/2=1
c+√(c²+4)=-15/4+√(15²/4²+8²/4²)=-15/4+17/4=1/2
となりますよね(ご確認下さい)？したがって
{a+√(a²+4)}{b+√(b²+4)}{c+√(c²+4)}=4*1*1/2=2
で、8 にはならないかと思うのですが……？

お礼日時：2021/06/06 10:43

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/06 07:22

x/y={a±√(a²+4)}/2

元の式は x/y=のとき、a=0 だが、上の式にa=0 を入れると x/y=±1
なので、＋だけをとり

x/y={a+√(a²+4)}/2
となる。同様に、 y/z,z/x をもとめ、(x/y)(y/z)(z/x)=1 だから
{a+√(a²+4)}{b+√(b²+4)}{c+√(c²+4)}=8

この回答へのお礼

x/y=-1が悪いということはないように思いますが…。

0=(-1)-(-1)

お礼日時：2021/06/06 08:04