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母分散の求め方を教えて下さい!

正規母集団から 15個の標本を無作為に抽出したところ、標本平均 X⁻ = 20.3 、標本分散 S^2 = 2.8^2であった。
このとき、母分散σ^2 の 95%信頼区間を求めよ。

という問題を解いてみたところ、
母分散の信頼係数 95%の信頼区間 4.506< σ^2 <20.888
と結果がでたのですが、間違っていました…

恐らく不偏分散などを用いると思うのですが、不偏分散の求め方もわかりません…

分かる方がいましたら、解き方を教えていただけないでしょうか?

よろしくお願いいたします。

A 回答 (1件)

「母分散」の推定ですよね? 「母平均」の推定ではなく。



この場合には「母分散」に対して「標本の分散」は「カイ2乗分布する」ということを使います。

お示しの例題でいうところの「標本分散」が、純粋な意味での「標本分散」(各データと標本平均の「2乗偏差」の平均)なのか、「不偏分散」なのかが不明確です。アルファベットの「S^2」といっているところを見ると、どうも「不偏分散」っぽいかな。

>不偏分散の求め方もわかりません…

って、そこに書かれた「標本分散」が「不偏分散」かどうかを確認するのが先決です。

「標本分散」が「不偏分散」そのものなら、母分散を σ^2 として
 χ^2 = (n - 1)S^2 /σ^2     ①
が「カイ2乗分布」することになります。
n=15, S^2=2.8^2
ということです。

これが「自由度 n - 1 = 14 のカイ二乗分布」するので、下記のカイ2乗分布表から「下側2.5%、上側97.5%」を読み取って
「26.1」「5.63」
従って
 5.63 < (n - 1)S^2 /σ^2 < 26.1
→ (n - 1)S^2 /26.1 < σ^2 < (n - 1)S^2 /5.63

n=15, S^2=2.8^2 を代入して
 4.205・・・ < σ^2 < 19.495・・・

カイ二乗分布表

http://www3.u-toyama.ac.jp/kkarato/2019/statisti …


質問者さんは、「自由度 n - 1 = 14 のカイ二乗分布」までは分かっているようですが、①式の「n - 1 = 14」とするところを「15」のままで計算していると思われます。

 5.63 < nS^2 /σ^2 < 26.1
→ nS^2 /26.1 < σ^2 < nS^2 /5.63

n=15, S^2=2.8^2 を代入して
 4.5057・・・ < σ^2 < 20.8880・・・
ですね。

S^2 が「不偏分散」ではなくて「純粋な意味での標本分散」であれば質問者さんのやり方でよいと思いますが。
「純粋な意味での標本分散」は「2乗偏差和を標本数で割ったもの」ですが、
「不偏分散」は「2乗偏差和を『標本数 - 1』で割ったもの」ですから。

「統計学」の教科書はいろいろいい加減なところがあって、「標本分散」がどちらを指しているのか、著者や本によってまちまちです。指導教官やお使いの教科書がどのような用語の定義で使っているか、再度確認してみてください。
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この回答へのお礼

詳しくご説明いただきありがとうございました!
私自身でも問題を解いて理解を深めていきたいと思います。

お礼日時:2021/06/06 12:59

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