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古くからある問題で、ご存知の方も多いと思いますが、次の問題です。
『e:ネイピア数、π:円周率、n:自然数、i:虚数
e=1・e=(e^i2nπ)・e=e^(1+i2nπ)={e^(1+i2nπ)}^(1+i2nπ)
={e^(1+i2nπ)}・{e^(i2nπ)^(1+i2nπ)} …①
 =e・{(e^(i2nπ))・e^(i2nπ)(i2nπ)}
=e・1・e^(ー4n²π²)=e
∴1=e^(ー4n²π²)
 しかし、上式が成立するのはn=0の場合。∴n²=0からn=0=1,2,3… 
 一体、何が起こったのだろう?』
 というものです。自分はこれを以下のように考えていました。
 上式の⓵で、
 (e^(i2nπ))^(1+i2nπ)=(e^(i2nπ))・{e^(i2nπ)・(i2nπ)}=1・e^(ー4n²π²)(=1)
と計算してしまっているところが間違いなのだ。つまり、
  (e^i2nπ)・{e^(i2nπ)・(i2nπ)}=1 (つまり、1^(1+i2nπ)=1 と考えている)
としているところが変な結果を招いてしまったのだということです。この場合n=0でしか=1は成立しません。もっと言えば、1^x=1は、指数xが実数の場合に安心して使えるのであって、この問題のように複素数となっている場合、吟味が必要だという結論なのですが、どうなのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 確認のために、補足の質問をさせていただきます。a^x=(1・a)^x=(1^x)・(a^x)
    としてよいのは、xが実数のときで、複素数のときは、a^x=1・a^x とするべきということですね?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/06/09 11:27

A 回答 (2件)

←補足


x が整数でないときには、
1^x には複数の値がありますからね。
x が実数なら、
その中の 1 を選ぶように決められていますが、
x が虚数だと、式によってはそうすべきとも限らない。
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。1^xを=1としてよいかどうかを見極める定石があればよいのですが…。よく注意するしかないのでしょうね。

お礼日時:2021/06/10 11:58

古くからある、数学あるあるの話題です。


複素指数関数では、指数法則が成り立たないんですよ。
①でも使われている e^(ab) = (e^a)^b が、間違いです。

その式が成り立つとすると、
複素指数関数は周期 2πi を持つので
e^(ab) = (e^a)^b
   = ( e^(a + 2πin) )^b
   = e^( (a + 2πin)b )
   = e^( ab + 2πibn ) より
ab + 2πim = ab + 2πibn となる整数 n, m があることになります。
b = m/n だから、 b は有理数でなければなりませんが、
①の場合、 b にあたる数は虚数ですね。
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございました。大変、勉強になりました。

お礼日時:2021/06/09 10:48

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