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実数の数列{a[n]}(n≧1)を
a[1]>0
a[n]=a[n-1]/(1+a[n-1]^2) (n≧2)
で定めるとき
lim[n→∞]a[n]=0
であることを高校範囲で証明したい
ので教えていただけないでしょうか。

つまり、有界な単調数列が収束する
ことを使わずに、ということです。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • うれしい

    f(x)=x+1/xはx≧2で単調増加なので
    √n+1/√n≦b[n] なら
    f(√n+1/√n)≦f(b[n])
    ということでしょうか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/06/08 12:54

A 回答 (4件)

a[n]>0 は自明。


b[n]=1/a[n]とおく。与式は

b[n+1]=b[n]+1/b[n]

b[1]≧2
b[n]≧(√n)+(1/√n)・・・・・・①
を仮定。

b[n+1]=b[n]+1/b[n]≧√n+1/√n+1/{√n+1/√n}
  =(n+1)/√n+√n/(n+1)={(n+1)²+n}/{(√n)(n+1)}
  =(n²+3n+1)/{(√n)(n+1)}
>√(n+1)+1/√(n+1)・・・・・補題2
したがって、帰納法から①が証明された。
したがって、b[n] → ∞
つまり、a[n] → 0


補題1
 (√n)√(n+1) < n+(1/2)
両辺を2乗すれば明らか。

補題2
(n²+3n+1)/{(√n)(n+1)} - {√(n+1)+1/√(n+1)}
  =(n²+3n+1)/{(√n)(n+1)} - (n+2)/√(n+1)
  ={(n²+3n+1) - (n+2)(√n)√(n+1)}/{(√n)(n+1)}
  >{(n²+3n+1) - (n+2)(n+1/2)}/{(√n)(n+1)}・・・補題1
   ={(n²+3n+1) - (n²+(5/2)n+1)}/{(√n)(n+1)}
   ={n/2}/{(√n)(n+1)} > 0
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます。

>b[n+1]=b[n]+1/b[n]≧√n+1/√n+1/{√n+1/√n}
ここなのですが、
1/b[n]≧1/{√n+1/√n}
ではなく、
1/b[n]≦1/{√n+1/√n}
となりませんか?

お礼日時:2021/06/08 09:55

なるほど。

まいりました・・・・
そのようです。

もう一つのほうも、-x<1+(√5-1)x+x² ではなく、
e^x<1+(√5-1)x+x² を示す必要があるようです。
ちょっと、ダメージが続き、立ち直れません・・・・(-_-)_/Ω
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この回答へのお礼

あなたに会えてよかった

いえいえ、細部まですっかり理解できました!
素晴らしい証明をありがどうございました。

お礼日時:2021/06/08 16:49

失礼しました。

誤りました。m(_ _)m
色々考えたが、元に戻ってしまった。
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この回答へのお礼

これはどう?

補足に書きましたが、
f(x)=x+1/xはx≧2で単調増加なので
√n+1/√n≦b[n] なら
f(√n+1/√n)≦f(b[n]) すなわち
√n+1/√n+1/(√n+1/√n)≦b[n]+1/b[n]
ということでしょうか?

お礼日時:2021/06/08 13:59

b[1]≧2 を示していなかった。


b[n+1]=b[n]+1/b[n]≧2 (AM-GM不等式)
なので、b[1]がいかなる値でも、b[2]≧2 となる。

そこで、b[n+1] → b[n]と数列をづらしても、b[1]≧2 としても
一般性は失わない。
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この回答へのお礼

ありがとう

丁寧にありがとうございます。

お礼日時:2021/06/08 10:50

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