多項式

実数を係数とする多項式P(x)で、
任意の実数xに対してP(x)≠0であるが、
任意の正の実数εに対してある実数aが存在して|P(a)|<ε
となるようなものは存在しますか？
理由とともにお願いします。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/11 21:44

存在しない。

もし存在すると、P(a)≠0 であり、ε=|P(a)|/2 とすると
|P(a)|<ε=|P(a)|/2 → |P(a)|<0
となり、矛盾。

この回答へのお礼

ε=|P(a)|/2に対してある実数bが存在して
|P(b)|<|P(a)|/2となる、ということです。
aはεに依存しています。

お礼日時：2021/06/11 22:07

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/12 00:16

たびたび失礼しました。

この回答へのお礼

いえ、ありがとうございます。

任意の正の実数εに対してある実数aが存在して|P(a)|<ε
と
ある実数aが存在して任意の正の実数εに対して|P(a)|<ε
の違いですね。

お礼日時：2021/06/12 07:54

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/12 01:05

ないです。

1/P(x) という有理関数を考えてみましょう。
任意の正数 ε に対して |P(a)|<ε となる実数 a がある ということは、
任意の正数 1/ε に対して |1/P(a)|>1/ε となる実数 a がある ということです。
すなわち、 1/P(x) は有界ではないということ。
有理関数は、極を除いて連続ですから、1/P(x) は極を持つか
lim[x→±∞] |1/P(x)| = ∞ かのどちらかになります。
1/P(x) が極を持つことは、任意の実数 x に対して P(x)≠0 であることに反します。
lim[x→±∞] |1/P(x)| = ∞ であれば、lim[x→±∞] P(x) = 0 ですが、
そのような多項式は定数関数 0 のみであり、やはり P(x)≠0 に反します。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
とてもよく理解できました。

お礼日時：2021/06/12 09:08