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色々事情があり新型コロナの感染者数予測のための数理モデルに関する論文を見ていましたが、誤りかどうかを確かめていただきたいです。
https://doi.org/10.1016/j.idm.2020.07.003

この論文の2ページ目(Infectious Disease Modellingという論文誌の503ページ目)の式なのですが、累積の感染者数を予測する式が

Y(t)=K/(1+e^{-r(t-t_m)})^(1/a)となっています。(アルファは敢えてaと書かせていただいております)

ただしこの論文を読むにあたり、下の方を読んでいくとt_mの定義が1日の感染者数が最大になる時を表しているとのことです。

しかしこのY(t)の定義ではdY/dtが1日あたりの最大の感染者数を表していると思われるので、2回微分のd^2Y/dt^2を計算すると、t=t_mでは2回微分の値が0とはなりません。

※Y(t)の式の下の方に1日の最大の感染者数について、t_m=K(1+a)^(-1/a)と書かれておりますが、これもY(t_m)=K(1+a)^(-1/a)だと思います。

そこでY(t)=K/(1+ae^{-r(t-t_m)})^(1/a)と分母を変えてみたところ2回微分が0となる地点がちょうどt=t_mとなります。なので私は

Y(t)=K/(1+ae^{-r(t-t_m)})^(1/a)

だと思ったのですが、これで正しいのでしょうか。

読んでいたのが査読済みの論文だったもので、根本の式が誤っていることがあるのかと思い疑問になったもので、ご質問させていただきます。

gooドクター

A 回答 (4件)

コメントありがとうございました。



ロジスティック関数のαは非対称性なんですが、この論文では、観測データを途中で打ち切っていますから、先行論文でデータの一部を取り出し対称と仮定するような条件を設けていたのを、そのまま使っている可能性があります
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この回答へのお礼

引用文献の考察まで、ありがとうございます。

実際にいくつか出てきた式でフィッティングして考察したいと思います。

お礼日時:2021/06/15 12:39

この論文のモデルは一体どういうことかいな、と考えてみました。



  (1) ひとたびエンガチョになった者は以後、ずっとエンガチョである。
  (2) エンガチョでない者は、エンガチョとランダムに接触し、するとある確率でエンガチョになる。

という規則から導かれる微分方程式
  dx/dt= x(1 - x)/T
は、普通の「限界があるネズミ算的成長」のモデル。ここでxは「全人口に占めるエンガチョの比率」、したがって(1-x)は「全人口に占める、エンガチョにでない人の比率」、Tは時定数、すなわち「感染力」を表す定数。すると解は
  x(t) = 1 / (1 + C exp(-t/T) )
  C = -1 + 1/x(0)
となる。これがいわゆる「ロジスティック曲線」ですね。

 しかし、「エンガチョになっても、ある程度の期間でエンガチョでなくなる(治癒するか死亡する)」感染症の場合には、これとは規則が違う。

 脱エンガチョのプロセスがある場合の簡単なモデルとして、

  (1') エンガチョは、日々ある確率で脱エンガチョ者に転じる。(時定数=L)
  (2') エンガチョでも脱エンガチョ者でもない者は、エンガチョとランダムに接触し、するとある確率でエンガチョになる。

と考えると、「全人口に占める、脱エンガチョ者の比率」をzとするとき、
  dx/dt = x(1 - x - z)/T - dz/dt
  dz/dt = x/L
となるでしょう。(1 - x - z)は「エンガチョでも脱エンガチョ者でもない者(つまり、これから感染するかもしれない者)の比率」です。(zの式に「ワクチンで脱エンガチョ者を増やす」効果を表す項を加えるのも容易ですね。)


 一方、論文のモデルは、y=Y/K として、これをtで微分してみると
  dy/dt = (1- y^α)y / (α/r)
となっているんじゃないかしらん。そうだとすると、(1 - y^α) は「これから感染するかもしれない者の比率」に関連するものと考えるしかなさそうですが、んー、いや、どうして(1- y^α)yが出てくるんだか、わからんです。(どこかに書いてあるのかもしれないけど。)
 例えば
  (3) yはエンガチョのうち検出される者の全人口に占める割合で、 y/xは エンガチョの割合xが大きくなると低下し、
  y = x^(1/α) (α>1)
となる。

というような仮定を置いたのかな?と考えてみたんですが、
  dy/dt ≒ (dx/dt)/α
より
  dy/dt = (1- y^α)(y^α) / (α/r)
んー、合わないですね。例によって、stomachmanが計算間違いしてるかもしれませんが。

 ま、ともあれ、この論文のモデルには脱エンガチョ効果が織り込まれていないようです。

 なお、別のイチャモンとして、「報告に遅れがある値を使ってるじゃんか」とのご指摘が出ていますけれども、デコボコは積分によって平滑化されますんで、その点についてはあんまり神経質になる必要はなかろうと思います。
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この回答へのお礼

dy/dtの式については、ギルピン-アヤラの個体群増殖式というロジスティック方程式の一種を用いているらしく、元の論文を確認中です。

死亡や回復、隔離など、考えるべき要素は多いですが、とりあえず「dy/dt = (1- y^α)y / (α/r)」について、元の論文を読んで意味を掴もうかと思います。

お礼日時:2021/06/15 12:49

#1です。



ご質問とは無関係のことですが・・・、

2020年2月12日の中国本土の1万4千人という異常値をそのまま使用している点に、本論文の検討の不十分さを感じます。

あれは、集計が遅れたため、1週間分くらいがまとめて報告されているのではなかったでしょうか。

だったら、少なくとも過去に按分する等のデータクリーニングが必要だと思います。日本でも日曜休診のために月曜日は普段より少なめになるので、統計解析をする場合は1週間移動平均を使いますよね。
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この回答へのお礼

助かりました

kamiyasiro 様

ご回答ありがとうございます。

論文についてまだ素人なもので、「Accept」と書かれていたので査読されたものと勘違いしてしまいました。

仰る通り、引用されている文献にも何か特殊な条件が書かれていたりするかもしれませんね。

まだ参考文献も目を通しただけで具体的には読んではいなかったため、熟読してみたいと思います。

お礼日時:2021/06/13 22:17

企業で統計を推進する立場の者です。



ざっと読みました。確かにおっしゃるとおりです。著者が間違いに気づかなかったのは、α≒1だからでしょう(Table 1より)。数学的厳密性を求めなければ、実質的な問題はないと思います。
あるいは、引用論文では何か特別な条件を設けているのを、本著者が言及し忘れているのかもしれません。

それと、これは「Article」ですね。受領日等の欄のタイトルから分かります。Articleとは査読を受ける気の無い(早く公表したい)「論説」です。他の学会誌ですと「Letter to Editor」となっている場合もあります。
でも、もし査読があったとしても、この分野ではスルーかもしれませんね。レフェリーもわざわざご質問者のようなことまでやらないでしょうから。数学や統計学の論文では引っかかると思います。

PDFからデータが拾えたので、本当にロジスティックが良いのかあるいはゴンペルツなど他の関数が良いのか、今からトレースしてみようと思います。興味深い題材を提示して頂き、ありがとうございました。
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