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f は正の実数から正の実数への狭義単調減少関数で、
lim[x→∞]f(x)=0
を満たしている。正の実数からなる数列 {a[n]} は、
Σ[n=1,∞]a[n]f(a[n])<∞
を満たしている。このとき、
lim[N→∞]f(N)(Σ[n=1,N]a[n])=0
となるでしょうか?理由とともに教えて下さい。

gooドクター

A 回答 (1件)

なりません。



f(x)=1/x² , a[n]=n² とします。
lim[x→∞]f(x)=0
を満たしている。

Σ[n=1,∞]a[n]f(a[n])=Σ[n=1,∞] n²/n⁴ <∞
を満たしている。

f(N)(Σ[n=1,N]a[n])=(1/N²)(Σ[n=1,N] n²)
 =(1/N²)N(N+1)(2N+1)/6 → ∞
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この回答へのお礼

天才やな

とても分かりやすい例をありがとうございます。

お礼日時:2021/06/14 15:23

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