『E=F・ｘ』？

非常に単純な実験です。重力加速度１ｇ下で地面から質量ⅿの物体を速さvで地面に対し垂直に投げ上げます。投げ上げた直後から、重力加速度１ｇによる減速を相殺する大きさの力Fを加え続け（つまり、重力を力とみなした場合、ｍｇ＝Ｆ）、高さhに達した時点で、物体の持つ力学的エネルギーEを計算するというものです。この際、空気抵抗は無視して差し支えないとします。
普通に考えれば、E=mv²/2＋ｍｇｈとなるでしょう。しかし、位置エネルギーｍｇｈ＝F・ｈと考えた途端、？となるのです。重力を力とみなせば、力Fと相殺しあって、物体に加わる力は０となっているように思え、０・ｈ＝０から位置エネルギーが得られているのはおかしいという気がしてくるのです。力の釣り合い＝相殺とし、加わる力＝０と考えるのは間違いで、物体に加わる力Ｆ≠０である、と考えようとしたのですが、物体を地面に置いた状態で、速度を与えずに、重力㎎と等しい大きさの力Fを逆向きに加えるだけにした場合、物体は地面に静止したままとなり、F・ｈのｈが０から、位置エネルギーは０のまま。それが、速さvを与えた途端、位置エネルギーが生じるようになるというのも、何か変な気がするのです。しかし、実験を行えば、位置エネルギーmghは生じるでしょうし、実際、生じる。
辻褄を合わせようとすると、物体に力Ｆを加えた状態で、物体がある距離ｘを移動した場合、その移動がＦによる加速度運動によるものではなくても、物体には、E=F・xで表されるエネルギーが加えられ
それが、例えば位置エネルギーの形になるのだという結論になったのですが、どうなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  アンサーありがとうございます。ただ、その力がもう一つの力と相殺しているのではないか、というのが悩ましいところなんです。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/06/17 11:40

No.13 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/19 13:32

物体の持つエネルギーは実はいっぱいありますよ！

たとえば　高さhに静止している物体の位置エネルギーはｍｇｈですよえｎ
でもこの物体の温度が０度のケースと273度のケースとでは後者の方がたかい熱エネルギーを保有していることになります
まして、核エネルギーということまで考えると　ゴルフボール1個分の質量
をすべて開放したとすれば広島に落とされた原爆に匹敵するエネルギーになるようです

ですので、　どのエネルギーにフォーカスを当てているのかという事は考慮されなければいけません

そこで、今回は貴方の質問内容から
「物体の持つ位置エネルギー」に比重を置きます
ただし　「物体の持つ運動エネルギー」抜きでは話が進まないのでこれにもフォーカスします
そのうえで私のたとえを良く把握してください。
A氏が物体に上向きの力Fをかけている
B氏が下向きの力fをかけている
ただし重力はなし

このとき（追加で）、物体の持つ運動エネルギーがタンクUに蓄えれれているとする
AしのもつエネルギーはタンクAに
B氏のもつエネルギーはタンクBに蓄えられている　とする

タンクAからタンクUにエネルギーが移ることがあるが
それはあくまでも物体がh上昇した時だけ
その分量は　Fh[J]です
同様に、タンクUからタンクBにエネルギーが移るのは
物体がｈ上昇したときに　fh[J]ということですよね
もしＢ氏が人間でなくてその力も普通のものではなくて、fが重力なら
タンクＢは位置エネルギーの貯蔵庫ということになります

この状況では、タンクＵとタンクＢのエネルギーの総和を力学的エネルギーといいますよね

もし　F=0でタンクＡからＵへの流入量が０なら
U+Ｂは終始その総和が変わらないので　力学的エネルギー保存の法則が成り立っているという状態です
この状態では物体が上昇するにつれて　Uのタンクの分量がどんどん減じていくので　物体の上昇分ｈには限界があります

では　F≠０の場合はというと
物体がｈ上昇したなら　AからUに　Fhのエネルギーが流入して
Uから　Ｂに　fhのエネルギーが流入するわけですから
（ただし強調しておきますが　この流入が起きるのはあくまでも変位hが起こった場合のみです）

Fh=fh すなわち　F=fなら　見かけ上　Uをすっ飛ばして
AからBへ直で外力Fの仕事Fhが位置エネルギーの増加分として流入したように見えるということです

でも、2つのケースＦ＝０　F≠０ともタンクBへのエネルギー流入の元がUであるとみれば
タンクA　すなわち外力のする仕事は
B（位置エネルギー）の変化分には直ではかかわってこない
ということがなっとくされるはずです

ちなみに、F<fでは
AからUに移るエネルギー(Fh)<UからBへ移るエネルギー(fh)
ですので
やがて　タンクUのエネルギーは枯渇してきます
ゆえに　この場合も　物体の上昇分には限りがあることがわかります
ただし、　F=0の時に比べれば　AからUに移るエネルギーが多少は存在するため　Uが枯渇するまでにより高く上昇できる⇔物体の上昇限度が高まる
ということになります
　
対して　F>fなら　上昇限度はなくてU、Bのタンク量はそれぞれどんどん増していくことになります

しかしながら　F=fであっても上昇分がh=0なら
変位０なんんで仕事が０で
よって
A→U
U→B
へのエネルギー流入自体が起きないので
そこが　上昇速度を持っているケースとの違いです

繰り返しになりますが、
物体の力学的エネルギー　といえば　U+B
です
U＋Bの分量、すなわち力学的エネルギーの増減を対象にするなら、
タンクAからの流入量は決して無視できないので
外力のする仕事を見なければいけません！

また　タンクU（運動エネルギー）の変化量だけをみるなら
A、Bとのやり取りの量を無視できないので
外力のする仕事と重力のする仕事を考えなければいけません
ただ、Uの変化量=Fh-fh=(F-f)hですから
運動エネルギーを相手にするときは、Fとfの合力を考えて合力の仕事を計算しても、結果は変わらないことになります


ところで、たしか貴方がフォーカスしている位置エネルギーでしたよね
これを考えるなら
タンクBだけ　を見ることになります。
エネルギーの位相経路がA→U→Bという流れだととらえれば
Bの変化分はAとは直では関係ない
直で関係してくるのは　タンクU
そして、もっといえば流入量はfhだから
重力f(mg)と変位ｈ　以外に位置エネルギー関係するものはない
ということなのです
（ただし、このエネルギー移送は同時並行的におこるので、A→Bいうと移送経路が存在しているとみても間違いではありません
けれども今回は、このA→Bの考え方を採用しないほうがあなたの混乱を抑えることができると思いますので、経路の順番はA→U→B だとみなしておいてください）

そして例を挙げると
Uが空になってしまえば　それ以上Bに移るエネルギーはなくなって
したがって上昇は止まります

Ｆ＝０なら　タンクＡの流入経路は遮断されているのも同然
F=fでも　F<fでも　F>fでも　
タンクＡからの流入経路は遮断されてはいない状態
いずれのケースでも、位置エネルギーだけを対象にするなら
Ｂの直接の流入元UがＢの変化に関係してくる
ＡはＵの先にあるのでBの変化にフォーカスする場合
AはUに比べれば無関係、ないし影響は薄い
ということです。

言い換えれば
Fとfの釣り合い　不釣り合いに　限らず
物体が上昇の勢い（速度上向きの運動エネルギー）を持っているなら
その勢いが位置エネルギーに変わる
外力Fが０または一定値以下なら上昇の勢いは減じていくから、上昇に限度がある（位置エネルギーには限度がある）
F≧ｆ　では上昇勢いが減じないから　物体は上限なく上昇して位置エネルギーはどんどん高まる
という事ですが、
勢い　すなわち　運動エネルギーが位置エネルギーに変換されていくと捉えれば、外力の仕事は位置エネルギーに直接ではなく　間接的影響しかない

F=fであっても、上昇の勢い=0　すなわち物体の初速=0なら
上昇の勢いから変換されて位置エネルギーにかわるエネルギーが存在しない
ということです

この回答へのお礼

アンサーありがとうございました。よく考えて理解に努めます。

お礼日時：2021/06/20 09:43

No.12 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/06/19 13:21

>物体が持つ（と自分は思っている）位置エネルギーによって、

>例えばそのエネルギーを発電に利用しているのも、
>貴方の考えでは、地球が行っている仕事＝エネルギー
>ということになるのでしょうが…。

もちろんそうです。物体が運動エネルギーとは別に
エネルギーを抱えていてそれを燃料に加速するなんて
ナンセンスです。
発電はあくまで重力の仕事です。
重力を介して重力場に預けていたエネルギーを
重力を介して返してもらっていると
考えることもできるでしょう。

この質問、「物体に付随している位置エネルギー」が
どこから来たかという話ですよね？

物体はそんなものは持っていないので
(持っているのは重力場なので)、
それを疑問に思う必要はないというのが
シンプルな答えです。

これを分かった上で、重力場に預けている
エネルギーをまるで物体の持ち物のように
計算するのは一向にかまわないです。

この回答へのお礼

アンサーありがとうございます。お礼を述べて終わりにしようと思っていたのですが、一つだけ、改めて、今回の質問の条件をより明確にしておきたいと思います。今回の実験では、重力は地球表面の１gで、 速度v＝１０m/s程度の相対論（特殊も一般も）的効果を≒０としてよいという条件で考えております。もし、一般相対論的効果を考慮しておられるなら、それは今回の場合、外してください。最初にもっと明確に述べておけばよかったと反省しております。では、ありがとうございました。

お礼日時：2021/06/20 09:42

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/06/19 09:18

>力が相殺している＝かかる力が０、

>つまりかかっていないという現象は違うのだということだったのです。

大丈夫かな?

位置エネルギーもカ学的エネルギーも計算の便宜の為に
つくられたもので、物体の持つエネルギーは本質的には
運動エネルギーだけなんだという認識が大切ですよ。

だから力の総和がゼロなら運動エネルギーは変化しない。
ここが本質で、他がどう変化するかは便宜的、形式的な話。

カ学的エネルギーは地球の重カ場に物体が渡したエネルギーと
物体のエネルギーの総和で、物体のエネルギーではありません。

地球と物体のなす糸の外からの力(Fのような外力)が無く、
内力が束縛力だけのとき(摩擦などが無いとき)
一定に保たれるので計算上の利用価値がとても高い便利な量
というだけです。

この回答へのお礼

まずは、お礼を。ここまで丁寧なご指摘、ありがとうございます。（これは皮肉ではありません）しかし、う～ん、と唸ってしまいます。
恐らく、物体が持つ（と自分は思っている）位置エネルギーによって、例えばそのエネルギーを発電に利用しているのも、貴方の考えでは、地球が行っている仕事＝エネルギーということになるのでしょうが…。ここは素直に、物体が持つエネルギーとしておいたほうが考えやすいし、それでも、計算結果が変わらないのならば、考えやすいほうがよいと思うのですが…。

お礼日時：2021/06/19 10:04

No.10 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/18 12:25

（しかし、外力F とポテンシャルエネルギーが無関係というご指摘には、いささか戸惑います。

まあ、これも、よく考えてみれば理解できるでしょう…
多分）

>>>
Bが受け取るエネルギー（ポテンシャルエネルギー)
＝Bが物体にした負の仕事
＝fx・・・(A)
=mgh
ですから、外力が
０でも　
正でも　負でも　大きい値であろうと小さい値であろうと
Bが受け取るエネルギーに直接的な関係はないですよね（式に現れてこない物理量（外力F)は無関係というわけです）
直で関係してくるのは式(特にA部分）を見て明らかなとおり
Bが発した力の大きさ　と　変位のみ
というわけです

外力Fが　F=0であろうと　F<0,F>0
いずれのケースでも　
変位がx=0なら
Bが受け取るエネルギー=ｆ・0=0
変位がhなら　
Bが受け取るエネルギー=ｆh(=mgh)
ということなんです

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます。tknakamuriさんも指摘されているように、
mghは物体の持つ（持たされた？）エネルギーではない、物理学では、物体の持つエネルギーは、静止質量のエネルギー（あの有名な公式）と運動エネルギーのみ、ということなのでしょうね…。

お礼日時：2021/06/19 10:16

No.9 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/17 13:26

#8さらに補足

エネルギーの受け取り受け渡しの関係は
書いた図を見てもわかる通り
もともとの物体の（運動)エネルギー　1/2mVo²
ここにＡからのエネルギーが受け渡されて（仕事Fxぶんだけ渡される）
ここから　Ｂにエネルギーが受け渡されます（仕事ｆxだけ　渡す）

もし、変位ｘ＝０なら　Fx=0 、fx=0だから
そもそもエネルギーの受け渡しが起きないので
Ｂの得るエネルギー＝位置エネルギーの増加＝０
（同様にＡからくるエネルギーも０で
エネルギー収支＝０なんで　物体のエネルギーは1/2mVo²のまま）

Ｆとｆのバランスが取れていようがいまいが
x≠０なら　Ｂの得るエネルギー＝位置エネルギーの増加＝fx(=mgh)…①
・Fとfがバランスがとれているなら
Ａが渡すエネルギー=Ｂに渡すエネルギー(=mgh)
だから　物体のエネルギーの収支は０
収支０だから物体の（運動）エネルギーは変わらず(1/2)mVo²のままかわらない、その状態でＢに渡されたエネルギは　位置エネルギーとしてＢにたまっていく→見かけ上　Ａから渡されるエネルギーがそっくりそのままＢに渡されていく

F>fなら　①に変化はないので
Ａが渡すエネルギー＞位置エネルギーの増加
物体のエネルギー収支はプラス
→このプラス分だけ運動エネルギーが増加
①より　このケースでもやはり　位置エネルギーは増加
（見かけ上　Ａから来たエネルギーの一部が　物体の運動エネルギーの増加となり、残りがＢに渡される）

ということです
（Ｆ＜ｆについてはご自分で・・・）

この回答へのお礼

ありがとうございます！やっと、疑問が解けました！自分は、物体にかかっている力が釣り合っている状態と力がかかっていない状態とをゴッチャにしていたのです。単に運動状態を考えるだけならいいのですが、力が釣り合っているときに力学的エネルギーのことを考える場合は、まず、釣り合っている力の各々を独立させて位置エネルギーや運動エネルギーの間での増減について計算し、最後にそれらを合算させねばならない。これが、力の釣り合っている状態と、かかる力がない状態との違いだったのです！力の釣り合いとかかる力Ｆが０の場合が違うのではということは、疑問文の中でも自分で触れておきながら、その違いが具体的にわからなかったので、いつもそこで引っかかっていました。が、実は、今回の疑問、つまり、力学的エネルギーの変化における違いが、つまりは、F=0と力の釣り合いの違いを示すものだったのだと今更ながら、気づけました。これは、あなたの最初のアンサーにあった、運動エネルギーと位置エネルギーのやり取りにおいて、変化した分を外力F が補填しているという指摘から気付けたことです。改めてお礼を申し上げます。
（しかし、外力F とポテンシャルエネルギーが無関係というご指摘には、いささか戸惑います。まあ、これも、よく考えてみれば理解できるでしょう…
多分）

お礼日時：2021/06/18 10:43

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/17 12:53

では、以下のように考えて見てください

無重力の状態で1/2mVo²の運動エネルギーをもつ物体に
上向きにF　下向きにfの力を加えるものがあるとしましょう（できれば図を書きいてみてください）
この状態でｘだけ物体が上昇すれば
Fから ＋Fxの仕事をされるので物体は初めのエネルギーにこれが加算され
エネルギー=1/2mVo²+Fxになります

これと対になって　Ｆの力を加えたのが人物Ａだとすれば　Ａはした仕事の分だけ　ずなわちFxだけエネルギーを失うことになります
（仕事とは、エネルギーの受け渡し分のことを指しますから、ＡがFxのエネルギーを失って　それが物体に受け渡されたというわけですよね！）

一方、fから -fxの仕事をされるので物体にはにこれも加算され
エネルギー=1/2mVo²+Fx-fxになります
（fの向きと変位の向きが真逆なんで　fの仕事はマイナスですよね）

これと対になって　ｆの力を加えたのが人物Bだとすれば　Ｂはした仕事の分だけ　ずなわち-fxだけエネルギーを失うことになります
言い換えればBは+fxのエネルギーを受けとるということです

もしもですよ！
もし仮に　この人物Ｂが発した力が重力であれば、
Ｂが受け取ったエネルギーは　位置エネルギーの増加に相当です！！

さて、図にこれらのエネルギーを書き込んでみてください
1/2mVo²
と　Ａがしたしごと　Fxと　
Ｂの仕事　-fx
Aが失ったエネルギー　Fx(-Fx)
Bが得たエネルギー +fx

上記3つを一括して丸で囲んでみてください
　
Ｆとfの大きさが等しければ
Fx-fx=0より
このまるで囲んだ範囲のエネルギーの総和は
(1/2)mVo²＋Fx-fx=(1/2)mVo²ですから
ネルギー収支は　０ですよね
Fとfの合力０として考えて、合力の仕事０と考えてもエネルギー収支０
Fとfを個別に考えても
合力として考えても　
この丸の範囲ないのでの収支は等しくなりますよね

でも、力学的エネルギーを考えるときは
まるで囲う範囲（考える範囲)がかわるのです
力学的エネルギーの範囲は
1/2mVo²と　と fが得たエネルギーの2つです！
ポテンシャルエネルギーを考えるのなら　丸で囲う範囲はBの得たエネルギーだけです
これを知るために　fがした仕事(-fxの値）を把握することは有用ですが
Aの力は全く眼中にないですよね
つまり　ポテンシャルエネルギーを考えるときには　外力Fは無関係という事なんです

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/06/17 12:46

＞その力がもう一つの力と相殺しているのではないか、

相殺しているから運動エネルギーは増えない

で矛盾はないと思いますが。

物体には運動エネルギー
重力場には位置エネルギがあって、他に力が
働かなければ　
位置エネルギーと運動エネルギーの和は
エネルギー保存則から一定です。

運動エネルギーから重力場に分け与えたエネルギーが
位置エネルギーなので当然なんですが・・・

外力F でエネルギーを与えれば、運動エネルギ+位置エネルギーは
その分変化する。でもそれが全部位置エネルギーに奪われて
しまえば物体のエネルギー(運動エネルギー)には残らない。

いいかたを変えると、力学的エネルギーの変化は
物体にかかる力の総和で起こるのではなく、
「外力F」で起こるもの。

重力は物体の運動エネルギーと位置エネルギーの総和を保ちつつ
割合を変えるだけ。

この回答へのお礼

度重なるご回答、本当にありがとうございます。ようやく、疑問が解消しました。要するに、力が相殺して物体にかかっている力が０になっているとするところから考えてしまうから疑問が生じてしまう。力が相殺している＝かかる力が０、つまりかかっていないという現象は違うのだということだったのです。この事実に気づかせてくださったことに感謝します。ありがとうございました。

お礼日時：2021/06/18 10:47

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/16 13:40

＃３です

御免なさい　読み返してみたら誤りがありましたので訂正です

中盤部分　誤り
「一方、力はした仕事の分だけエネルギーを減じるので
mg(-h)の仕事をした重力のエネルギー減少分は-(mg(-h))=+mghです
つまり　重力による位置エネルギーはmghだけ増加したことになります」
　　　　　↓
　　　　　↓
　　　　　↓
正しくは
「一方、力はした仕事の分だけエネルギーを減じるので
mg(-h)の仕事をした重力のエネルギー減少分は(mg(-h))=-mghです
つまり　（減少の数値がマイナス＝増加　ですから）重力による位置エネルギーはmghだけ増加したことになります」

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/06/16 12:38

力学的エネルギーというのは物体のエネルギー(運動エネルギー)と

重力場が物体から奪ったエネルギー(位置エネルギー)の和で、
物体のエネルギーはあくまで運動エネルギーです。

Fが無ければエネルギー保存則から

力学的エネルギー=位置エネルギー + 運動エネルギー は一定。

運動エネルギーから重力が奪ったエネルギーが
「重力場の」位置エネルギーに加わるからです。

たとえ物体が落下中で、ぐんぐん速度が増えても
力学的エネルギーは変化しませんよね。

物体に力が加われば、エネルギー保存則から
力学的エネルギーは力によるエネルギー分増えます。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/16 12:38

#3です

腑に落ちな所があれば補足質問してくださいませ。

この回答へのお礼

まず、重なる丁寧なご回答、ありがとうございます。あれから、考えてみたのですが、重力場に限らず、例えば、物体に電荷を与えて、電界中に置き、力を加える場合など、さらには、手で直接、物体を押さえ、そこに押さえつける力と等しい大きさで、逆向きに力を加えた場合、といったように考えてみたのですが、結局、力の釣り合いをFーF=0とすると、なんでポテンシャルエネルギーに相当するエネルギーの変化（増減を問わず）が起こるのか、いまいち、理解が及びません。しかし、現象としてはそうなっているのだから、まずは、それを受け入れるしかない、と現時点では考えています。

お礼日時：2021/06/17 11:38