y=x^3+(3/2)x^2-6x をxについて微分するとどうなりますか?
ていうより、答えは3x^2+3x-6になるということは分かっていますが、解き方が今ひとつ分からないんです。
まだ学校では習ってないんですが・・・ どなたか、よろしくお願いします!

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A 回答 (11件中1~10件)

f(x)は0ではない。

という条件を忘れていました。
ryumuさんの意見のおかげでまだ証明が十分でないことがわかりました。

私の証明は
積の方はf(x)≠0とg(x)≠0の場合、
商の方もf(x)≠0とg(x)≠0の場合しか証明していません。

しかし、積の方はf(x)=0とg(x)=0の場合、
商の方はf(x)=0とg(x)≠0の場合もなりたちます。
これは代入してやればすぐわかります。
以上そろそろ終わりましょう。
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ほうほう・・・newtypeさん、対数フェチとみた!(笑)


なるほど、対数ね。
でも、これは注意が必要。
対数を取るには、y=f(x)=g(x)=0とならないという条件も必要なので、正式な導き方とはなりません。
また、

 (log|f(x)|)’=f’(x)/f(x) ;f(x)は0でない

を先に証明する必要が出てきます。
それに伴って、合成関数のf(g(x))の微分も知っていなければいけないし・・

やはり本質を理解の理解のために、ある程度までは定義から公式も導く方が私はお勧めですがね。特に習いたての時は。

本当は定義から、e=lim(1+(1/n))^n ;(n->∞)
も一度は自分で導くべきなんです。
安心して、(e^x)’=e^x が使えますから。
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積や商の微分公式も対数を使うと簡単に求まります。


y=f(x)g(x)とする。
両辺に対数をとり、
log|y|=log|f(x)|+log|g(x)|となる。
両辺をxで微分して、
y'/y=f’(x)/g(x)+g'(x)/g(x)
⇒y'=f’(x)g(x)+f(x)g'(x)

y=f(x)/g(x)とする。
両辺に対数をとり、
log|y|=log|f(x)|-log|g(x)|
両辺をxで微分して、
y'/y=f’(x)/f(x)-g'(x)/g(x)
⇒y'=f’(x)/g(x)+g'(x)f(x)/{g(x)}^2
⇔y'={f’(x)g(x)+g'(x)f(x)}/{g(x)}^2
以上
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ふふふ・・・みなさん甘いですな^^;


ちゃんと、本文中に”(h->0とする)”と断っておりますぞ^^;
って揚げ足を取るだけでは進歩しないので、ついでに積と商の微分公式も簡単に導きましょう。

以下、h->0とする(強調)!!^^;

 y=f(x)・g(x)

を微分しましょう。定義より、

 y’=[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x)]/h

ここで、強引に(ここミソ) f(x)・g(x+h)を式中に作ります。
(別にf(x+h)・g(x)でもいい)
しかし、いきなり出してもしょうがないので、


y’={[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x)]-[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]/h  ・・・(*)

とします。つまり、[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]=0を足すんです。
すると、(*)式は、

 y’={[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]+[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x)]/h

  =[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]/h+[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x)]/h

 =f’(x)・g(x)+f(x)・g’(X)

となります。これが積の微分公式です。

つまり、y=xCOSxの微分は、

 y’=(xCOSx)=(x)’COSx+x(COSx)’=COSx-xsinx

となります。

一方、y=f(x)/g(x)という商は分母のg(x)を払って、

 y・g=f

となります((x)は省略!!)。

これを両辺微分すると、積の微分公式より、

 y’・g + y・g’=f’

移行して、

 y’・g=f’-y・g’

ここで、y=f/gであることを考慮すると、

 y’・g=f’-(f/g)・g’ 

よって、

 y’=[f’・g-f・g’]/(g^2)

という商の微分公式が得られます。
公式も自分で導けると、何かと楽ですよ。
他にもネタはありますが・・・余り役に立たないのでいいでしょう^^;
ほな頑張ってください。
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すいません。

矢印みたいなのありますね。
たとえば「きごう」と打って変換するといろんな記号が出てきます。
また「やじるし」と打って変換すると、いろいろな矢印が出てきます。

いんてぐらる→∫
しぐま→Σ
など。
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うふふ。

ryumuさん、詰めがあまいですな。lim(h→0)が抜けとりますぞ。
ちなみに私も人のこといえせん。

「logf(x)=αlogx 両辺をxで微分して(対数微分法)⇒f’(x)/f(x)=α/x」
のところなんですがf(x)に絶対値記号を付け忘れています。

正しくは
「log|f(x)|=αlogx 両辺をxで微分して(対数微分法)⇒f’(x)/f(x)=α/x」
としなければいけませんね。

実はこの訂正もお礼が書かれたあとに書こうと思ったのですが…。
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この回答へのお礼

ご親切にどうもありがとうございます。
ふふふ。そうですね、実は僕も気づきましたよ。(^_^) でも、本当に分かりやすい説明で助かりました。やっと先へ進めます。

お礼日時:2001/08/28 00:26

もう皆さんが答えられているので、NO1のnewtypeさんの示した最後の式を、簡単に・・・



そもそも微分の定義は、関数y=f(x)があったとき、あるxとそれより微少量h増加したときの、yの変化の比率ですよね。
すなわち、

 y’=[f(x+h)-f(x)]/h ;(h->0) ・・・(*)

ということです。f(x)=x^nの時は、newtypeさんが示されています。
つまり、

  (x^n)’=n・x^(n-1)

となります。

では、

 y=f(x)+g(x)

という和の時は(例えばy=x^2-3xなど)、定義(*)により(h->0とする)


 y’={[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}/h
   ={[f(x+h)-f(x)]+[g(x+h)-g(x)]}/h 
   =[f(x+h)-f(x)]/h +[g(x+h)-g(x)]/h 
   =f’(x) + g’(x)

となります。つまり全体を微分することは、それぞれを微分して足しても同じだっちゅうことですね。
例で言うと
(x^2-3x)’=(x^2)’+(-3x)’
        =(x^2)’+(-3)(x)’
        =2x-3
となります。

私も高校時代に独学で先取りして微積分を勉強し、高校3年生の頃には、大学教養課程程度の問題もかなり解けるようになってました。物理を勉強する上でも、かなり得をした覚えがあります(単振動の一般式を導くなど)。
頑張ってください^^;
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この回答へのお礼

ご回答有り難うございます。
ほほう。最後の式はつまりそういうことになりますねえ(^^! 理解がまた一つ深まりましたよ。
うわあ。ryumuさんもすごいですねえ。僕は、つい最近微積分の勉強を始めたばっかりなのですが、ホント奥が深いんですねえ。分からないことずくめで・・・
物理かあ・・・。なんか難しそうですねえ。まあ、ryumuさんもいろいろと頑張ってください!有り難うございました。

お礼日時:2001/08/28 00:43

微分の計算だけの話でしたら、教えられます。

指数の数を係数にかけて指数から1ひいた値をまた指数とします。つまり、x^nの微分は、nx^(n-1)ということです。例えば、x^3の微分は3x^(3-1)=3x^2 となります。従って、
y'=3x^(3-1)+(3/2)*2x^(2-1)-6x(1-1)
=3x^2+3x-6
となります。(x^0は1です)
微分の原理については学校で習って下さい。
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この回答へのお礼

なるほど。計算ならば、簡単に解けるんですね。コツが分かりました。
ご回答有り難うございました。

お礼日時:2001/08/28 00:48

ひょっとして、グラフを画く方法をお聞きしているのでしょうか。


それとも、線形性のことを聞いているのでしょうか。
補足求む。

(a^n)-(b^n)=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+…+a^(n-k){b^(k-1)}+…+ab^(n-2)+b^(n-1)]
を見て、何なんだこの式は?とお思いになられたでしょう。実は「お礼」が書かれた後に証明しようと思ったのですが、まだ見ておられないようなのでいまやります

1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)=(1-x^n)/(1-x) (x≠1) という式は等比数列の公式から知っていると思います。x=b/aを代入して

1+(b/a)+(b/a)^2+(b/a)^3+…+(b/a)^(n-1)={1-(b/a)^n}/{1-(b/a)}

両辺にa^nをかけて
a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+…+ab^(n-1)=(a^n-b^n)/{1-(b/a)}

両辺に1-(b/a)をかけて
{1-(b/a)}{a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+…+ab^(n-1)}=(a^n-b^n)
⇔(a-b){a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+…+b^(n-1)}=(a^n-b^n)

以上
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一部修正14、15、16行目


どちらも最後の項が(x+h)^(n-1)となっていますがx^(n-1)としておいてください。
これは8,9行目の式に代入して考えればすぐわかります。
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こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

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[1の解]
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で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
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F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Qx, y∈R がx^2+xy+y^2=6をみたしながら動くときz=x+yの取り得る値の範囲を求めよ。

x∈R より、判別式Dは実数解を持つ(D≧0)を利用しました。
y=z-xをx^2+xy+y^2=6に代入
x^2+x(z-x)+(z-x)^2-6=0
x^2-zx+z^2-6=0
題意より
D=z^2-4(z^2-6)≧0
3z^2-24≦0
z^2≦8
∴ -2√2≦z≦2√2

と解いたのですが、説明不足でしょうか?
不自然な点、補足した方がよい点がをご教授下さい。

Aベストアンサー

試験対策を考えているなら、少し答案の書き方を考えたほうが良いかもしれません。
答案は、基本的に「文章を」書くものです。数式は、その補助に過ぎませんから、
式だけ書きっぱなし(に近い)答案は、求める値だけ当たっていても、評価が低い場合があります。

上の答案は、「題意より」の部分を補って

x^2+xy+y^2=6 に y=z-x を代入すると、x^2-zx+z^2-6=0 となる。
題意より、この方程式は x の実数解を持たねばならないから、
判別式を考えると、z^2-4(z^2-6)≧0 が成り立つ。
この不等式を解けば、-2√2≦z≦2√2 となる。

と解釈される可能性があります。(文章になっていないので、読まずに0点という可能性さえある。)

こう書き直してみると、
-2√2≦z≦2√2 は、実数 x が存在するための必要条件に過ぎないこと、
実数 y が存在するかどうかに関して何も言っていないこと、
の二点について、十分性の怪しい記述になっています。

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試験対策を考えているなら、少し答案の書き方を考えたほうが良いかもしれません。
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x^2+xy+y^2=6 に y=z-x を代入すると、x^2-zx+z^2-6=0 となる。
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 解)t=x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8 とおき、Xについて整理すると、
    =…={x-(y+2)}^2+y^2-2y+4 
  
  これより、tは、x=y+2 のとき、最小値y^2-2y+4 をとる。

  ここで、g(y)=y^2-2y+4 とおくと、
     
    (省略)

と、この後は、g(y)=y^2-2y+4 を平方完成し、最小値を求めていきますが、このtの式の最小値が、
y^2+Z+4となるtの式が有った場合、tの最小値は、以下の3通りのどれでしょうか?

 (1)y^2+Z+4 → y^2+Z+4 , (2)y^2+Z+4=y^2+(Z+4) より、z+4 ,
 (3)y^2+Z+4=y^2+(Z+4) より、z+4は1次関数なので、最小値はもたない

また、y^2+z^2+4となるtの式が有った場合、tの最小値は、
 y^2+z^2+4 → y^2+z^2+4=y^2+(z^2+4) より、4 

で合っているでしょうか?

「実数x,yについて、x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8 の最小値と、そのときのx,yの値を求めよ。」という問題を解くと、

 解)t=x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8 とおき、Xについて整理すると、
    =…={x-(y+2)}^2+y^2-2y+4 
  
  これより、tは、x=y+2 のとき、最小値y^2-2y+4 をとる。

  ここで、g(y)=y^2-2y+4 とおくと、
     
    (省略)

と、この後は、g(y)=y^2-2y+4 を平方完成し、最小値を求めていきますが、このtの式の最小値が、
y^2+Z+4となるtの式が有った場合、tの最小値は、以下の3通り...続きを読む

Aベストアンサー

>このtの式の最小値が、y^2+Z+4となるtの式が有った場合

意味不明です。「tの式」を定義してください。


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