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y=x^3+(3/2)x^2-6x をxについて微分するとどうなりますか?
ていうより、答えは3x^2+3x-6になるということは分かっていますが、解き方が今ひとつ分からないんです。
まだ学校では習ってないんですが・・・ どなたか、よろしくお願いします!

A 回答 (11件中1~10件)

f(x)は0ではない。

という条件を忘れていました。
ryumuさんの意見のおかげでまだ証明が十分でないことがわかりました。

私の証明は
積の方はf(x)≠0とg(x)≠0の場合、
商の方もf(x)≠0とg(x)≠0の場合しか証明していません。

しかし、積の方はf(x)=0とg(x)=0の場合、
商の方はf(x)=0とg(x)≠0の場合もなりたちます。
これは代入してやればすぐわかります。
以上そろそろ終わりましょう。
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ほうほう・・・newtypeさん、対数フェチとみた!(笑)


なるほど、対数ね。
でも、これは注意が必要。
対数を取るには、y=f(x)=g(x)=0とならないという条件も必要なので、正式な導き方とはなりません。
また、

 (log|f(x)|)’=f’(x)/f(x) ;f(x)は0でない

を先に証明する必要が出てきます。
それに伴って、合成関数のf(g(x))の微分も知っていなければいけないし・・

やはり本質を理解の理解のために、ある程度までは定義から公式も導く方が私はお勧めですがね。特に習いたての時は。

本当は定義から、e=lim(1+(1/n))^n ;(n->∞)
も一度は自分で導くべきなんです。
安心して、(e^x)’=e^x が使えますから。
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積や商の微分公式も対数を使うと簡単に求まります。


y=f(x)g(x)とする。
両辺に対数をとり、
log|y|=log|f(x)|+log|g(x)|となる。
両辺をxで微分して、
y'/y=f’(x)/g(x)+g'(x)/g(x)
⇒y'=f’(x)g(x)+f(x)g'(x)

y=f(x)/g(x)とする。
両辺に対数をとり、
log|y|=log|f(x)|-log|g(x)|
両辺をxで微分して、
y'/y=f’(x)/f(x)-g'(x)/g(x)
⇒y'=f’(x)/g(x)+g'(x)f(x)/{g(x)}^2
⇔y'={f’(x)g(x)+g'(x)f(x)}/{g(x)}^2
以上
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ふふふ・・・みなさん甘いですな^^;


ちゃんと、本文中に”(h->0とする)”と断っておりますぞ^^;
って揚げ足を取るだけでは進歩しないので、ついでに積と商の微分公式も簡単に導きましょう。

以下、h->0とする(強調)!!^^;

 y=f(x)・g(x)

を微分しましょう。定義より、

 y’=[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x)]/h

ここで、強引に(ここミソ) f(x)・g(x+h)を式中に作ります。
(別にf(x+h)・g(x)でもいい)
しかし、いきなり出してもしょうがないので、


y’={[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x)]-[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]/h  ・・・(*)

とします。つまり、[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]=0を足すんです。
すると、(*)式は、

 y’={[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]+[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x)]/h

  =[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]/h+[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x)]/h

 =f’(x)・g(x)+f(x)・g’(X)

となります。これが積の微分公式です。

つまり、y=xCOSxの微分は、

 y’=(xCOSx)=(x)’COSx+x(COSx)’=COSx-xsinx

となります。

一方、y=f(x)/g(x)という商は分母のg(x)を払って、

 y・g=f

となります((x)は省略!!)。

これを両辺微分すると、積の微分公式より、

 y’・g + y・g’=f’

移行して、

 y’・g=f’-y・g’

ここで、y=f/gであることを考慮すると、

 y’・g=f’-(f/g)・g’ 

よって、

 y’=[f’・g-f・g’]/(g^2)

という商の微分公式が得られます。
公式も自分で導けると、何かと楽ですよ。
他にもネタはありますが・・・余り役に立たないのでいいでしょう^^;
ほな頑張ってください。
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すいません。

矢印みたいなのありますね。
たとえば「きごう」と打って変換するといろんな記号が出てきます。
また「やじるし」と打って変換すると、いろいろな矢印が出てきます。

いんてぐらる→∫
しぐま→Σ
など。
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うふふ。

ryumuさん、詰めがあまいですな。lim(h→0)が抜けとりますぞ。
ちなみに私も人のこといえせん。

「logf(x)=αlogx 両辺をxで微分して(対数微分法)⇒f’(x)/f(x)=α/x」
のところなんですがf(x)に絶対値記号を付け忘れています。

正しくは
「log|f(x)|=αlogx 両辺をxで微分して(対数微分法)⇒f’(x)/f(x)=α/x」
としなければいけませんね。

実はこの訂正もお礼が書かれたあとに書こうと思ったのですが…。
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この回答へのお礼

ご親切にどうもありがとうございます。
ふふふ。そうですね、実は僕も気づきましたよ。(^_^) でも、本当に分かりやすい説明で助かりました。やっと先へ進めます。

お礼日時:2001/08/28 00:26

もう皆さんが答えられているので、NO1のnewtypeさんの示した最後の式を、簡単に・・・



そもそも微分の定義は、関数y=f(x)があったとき、あるxとそれより微少量h増加したときの、yの変化の比率ですよね。
すなわち、

 y’=[f(x+h)-f(x)]/h ;(h->0) ・・・(*)

ということです。f(x)=x^nの時は、newtypeさんが示されています。
つまり、

  (x^n)’=n・x^(n-1)

となります。

では、

 y=f(x)+g(x)

という和の時は(例えばy=x^2-3xなど)、定義(*)により(h->0とする)


 y’={[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}/h
   ={[f(x+h)-f(x)]+[g(x+h)-g(x)]}/h 
   =[f(x+h)-f(x)]/h +[g(x+h)-g(x)]/h 
   =f’(x) + g’(x)

となります。つまり全体を微分することは、それぞれを微分して足しても同じだっちゅうことですね。
例で言うと
(x^2-3x)’=(x^2)’+(-3x)’
        =(x^2)’+(-3)(x)’
        =2x-3
となります。

私も高校時代に独学で先取りして微積分を勉強し、高校3年生の頃には、大学教養課程程度の問題もかなり解けるようになってました。物理を勉強する上でも、かなり得をした覚えがあります(単振動の一般式を導くなど)。
頑張ってください^^;
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この回答へのお礼

ご回答有り難うございます。
ほほう。最後の式はつまりそういうことになりますねえ(^^! 理解がまた一つ深まりましたよ。
うわあ。ryumuさんもすごいですねえ。僕は、つい最近微積分の勉強を始めたばっかりなのですが、ホント奥が深いんですねえ。分からないことずくめで・・・
物理かあ・・・。なんか難しそうですねえ。まあ、ryumuさんもいろいろと頑張ってください!有り難うございました。

お礼日時:2001/08/28 00:43

微分の計算だけの話でしたら、教えられます。

指数の数を係数にかけて指数から1ひいた値をまた指数とします。つまり、x^nの微分は、nx^(n-1)ということです。例えば、x^3の微分は3x^(3-1)=3x^2 となります。従って、
y'=3x^(3-1)+(3/2)*2x^(2-1)-6x(1-1)
=3x^2+3x-6
となります。(x^0は1です)
微分の原理については学校で習って下さい。
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この回答へのお礼

なるほど。計算ならば、簡単に解けるんですね。コツが分かりました。
ご回答有り難うございました。

お礼日時:2001/08/28 00:48

ひょっとして、グラフを画く方法をお聞きしているのでしょうか。


それとも、線形性のことを聞いているのでしょうか。
補足求む。

(a^n)-(b^n)=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+…+a^(n-k){b^(k-1)}+…+ab^(n-2)+b^(n-1)]
を見て、何なんだこの式は?とお思いになられたでしょう。実は「お礼」が書かれた後に証明しようと思ったのですが、まだ見ておられないようなのでいまやります

1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)=(1-x^n)/(1-x) (x≠1) という式は等比数列の公式から知っていると思います。x=b/aを代入して

1+(b/a)+(b/a)^2+(b/a)^3+…+(b/a)^(n-1)={1-(b/a)^n}/{1-(b/a)}

両辺にa^nをかけて
a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+…+ab^(n-1)=(a^n-b^n)/{1-(b/a)}

両辺に1-(b/a)をかけて
{1-(b/a)}{a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+…+ab^(n-1)}=(a^n-b^n)
⇔(a-b){a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+…+b^(n-1)}=(a^n-b^n)

以上
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一部修正14、15、16行目


どちらも最後の項が(x+h)^(n-1)となっていますがx^(n-1)としておいてください。
これは8,9行目の式に代入して考えればすぐわかります。
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