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例えばy=x^2+ax+bとy=x+cの式を=て結ぶと
=yになる式をそれぞれ繋げているだけなので、この2つの式のyの値が同じ時のxの値が出てくるだけにならないですか?

xもyも共通している点が出てくる理由を教えて下さい

質問者からの補足コメント

  • =yの2つの式を=で結んでいることからyの値は同じ事は分かるが、xの値が同じである値が出てくる事は分からない、
    という事です

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/06/15 11:41
  • もしxの値も同じである理由が「2つの式をイコールにした際に右辺xと左辺のxは同じ文字のxであるから」でしたら、何故そうなるのかを教えて頂きたいです

      補足日時:2021/06/15 23:26
  • 回答ありがとうございます

    xに同じ値を入れてyが異なる数を示すように、
    2つの式のyの値が同じ時に必ずxの値が同じになるとは限らないのではないでしょうか?

    No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/06/15 23:30
gooドクター

A 回答 (9件)

連立方程式の解き方そのものに疑問をお持ちのようなので代入法について改めて少し。



二次方程式

y=ax^2…①

および一次方程式

y=x+k…②

を連立方程式として解く問題を考える事にします。この連立方程式を解くと言う事は

y1=ax1^2

y2=x2+k

と置いた時に

x1=x2

y1=y2

となる所を求めると言う意味です。なので①式と②式を連立方程式として解くと言う事を細かく言うと「x1とx2、y1とy2がそれぞれ等しくなる事があるとすればそこはどこなのか」を求める事です。つまりそこでは①式のxおよびy、並びに②式のxおよびyが等しくなるわけですから「①式のxと②式のyは同じもの」と考えて計算を進めます。そしてその結果

x=x0 y=y0

と言う値が求まったとしたら、それは「問題の連立方程式に解があるとすればこの値である」と言うものですから、それは紛れもなくその連立方程式の解です。


(実際に解になっているかどうかは元の方程式に代入すれば簡単に確かめられます)


御心配されているのは例えば「①式と②式のyが同じでもxが違う場合があるのでは」と言う事のようですが、そのような場合にはそもそも「①式と②式を連立方程式として解く」と言う操作が途中でうまく行かなくなります。例えば

y=x^2…③

y=x-1…④

の二式を連立方程式として解く問題を考えると、この場合のxは虚数になります。x軸上に虚数は存在しませんから、これはすなわち「③式と④式を連立方程式として解いた場合の解は存在しない」と言う意味になります。


実際、③式と④式のグラフを描いてみればすぐに分かるはずですが、両者のグラフは交わりません。これはすなわち「この連立方程式には解がない」と言う意味になります。
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この回答へのお礼

助かりました

丁寧にありがとうございます
解決しました!

お礼日時:2021/07/03 08:27

私が書いた回答並びにゼロプライム様の回答と同じ話になりますが、この場合は「2つの式のyの値が同じ時にxの値も同じになる場合だけを考えているから」と言う事になります。




逆に質問ですが、次の問題はどうやって解きますか。


問題:次の連立方程式の解を求めよ。

y=x^2+ax+b…①

y=x+c…②


もちろん②式のyを①式のyに代入して

x+c=x^2+ax+b

と置いて計算を進めますよね。①式と②式の交点の座標を求めると言う事は二式を連立方程式として解くと言う事に他なりません。なので①式と②式の右辺をイコールと置いて計算するわけです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
回答頂いた後数日考えましたが、そもそもその連立方程式を何故そのように解いて共通のxが求められるのか分かりませんでした

お礼日時:2021/06/19 00:20

補足コメントに書かれている通りです。


「2つの式のyの値が同じ時に必ずxの値が同じになる」ということではありません。必ず同じになる場合はもとの2つの式が同じ場合です。式が異なりますから普通はxの値は異なります。

No.6 の回答に戻りますが、4行目に書いた通り普通はyの値は異なります。ところが、ある特別なxの値についてはyの値が同じになることがあります。そのときは、xの値もyの値もそれぞれ共通です。
この特別な点が、放物線と直線の共有点です。
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y=x²+ax+b・・・①


y=x+c・・・②
①と②のxに同じ値を代入します。
式が異なるので求まるyの値は普通は異なります。
ところが、ある値については、①と②のxに同じ値を代入したときに、①と②のyの値も同じになる場合があります。つまり、xもyも共通する場合があります。

普通は同じxの値を代入してもyの値は異なるわけですがyの値が同じになるようなxの値を求めるわけで、①と②のyの値が同じということで①と②の右辺をつないだ式を解いて求まるxの値については、xもyも共通の値になります。
この回答への補足あり
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例えば、放物線



y=ax^2

と直線

y=ax

の交点を求めると言う幾何学の問題は「両者を連立方程式として見た場合の解を求める」と言う代数学の問題として読み替える事ができます。なのでこの場合も、放物線を表す式と直線を表す式を連立方程式として考えているので「xの値もyの値も共通」となります。
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恐らく質問者様は、例えば2直線



y=2x

y=2x+1

を考えた時に「yの値が同じでもxの値は違う(∴交点の座標は求められない)」と言った事を考えておられるのではないでしょうか。そんな場合にはそもそも両者の右辺をイコールで結ぶ事自体が不可能です。なので両者をイコールで結んだ時点で「xの値も同じ」と考えているわけです。
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この回答へのお礼

回答頂きありがとうございます

なぜxも同じ値でないとイコールで結ぶ事が不可能なのですか?

お礼日時:2021/06/15 23:24

きちんと,論理的に考えましょう。

交点が (x0,y0) だったとすると,
y0=x0^2+a*x0+b
および
y0=x0+c
の両方の式を満足します。この式からy0を消去すれば
x0^2+a*x0+b=x0+c
からx0が求められて,その値を上の二つの式のどちらかに代入すればy0が求められます。この最後の式は,二つの式を=で結んだだけですよね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます

y0=x0^2+a*x0+b
y0=x0+c
を=で結ぶとyを求められる式が=になる事しか分からないのに何故xの値はも共通していると分かるのでしょうか

また「交点が (x0,y0) だったとすると,
y0=x0^2+a*x0+b
および
y0=x0+c
の両方の式を満足します。」という部分が分かりません
xとyにそれぞれ0を代入していますが、「それの代入が出来た」という事を言っているのでしょうか?

お礼日時:2021/06/15 12:04

なんで放物線と直線がイコールなのか


意味がわからん。
どういうこと?
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「2つの式のyの値が同じ時のxの値が出てくる」って自分で書いてるじゃん.

この回答への補足あり
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