級数

f は正の実数から正の実数への狭義単調減少関数で、
lim[x→∞]f(x)=0
を満たしている。正の実数からなる数列 {a[n]} は、
Σ[n=1,∞]a[n]f(a[n])<∞
を満たしている。このとき、
lim[N→∞]f(a[N])(Σ[n=1,N]a[n])=0
となるでしょうか？理由とともに教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/15 09:15

#1です

間違えました取り消します

この回答へのお礼

lim[N→∞]f(a[N])(Σ[n=1,N]a[n])
=lim[N→∞](1/9^(N-1))(Σ[n=1,N]3^(n-1))
=lim[N→∞](3^N-1)/(2*9^(N-1))
=0

お礼日時：2021/06/15 14:19

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/15 09:00

f(x)=1/x^2

とすると
f は正の実数から正の実数への狭義単調減少関数で
lim[x→∞]f(x)=lim[x→∞]1/x^2=0
を満たしている。

a[n]=3^(n-1)
とすると
{a[n]}は
正の実数からなる数列で
Σ[n=1,∞]a[n]f(a[n])
=Σ[n=1,∞]1/3^(n-1)
=3/2
<∞
を満たしている。
lim[N→∞]f(N)(Σ[n=1,N]a[n])
=lim[N→∞](1/N^2)(Σ[n=1,N]3^(n-1))
=lim[N→∞](1/N^2)(3^N-1)/2
=lim[N→∞](3^N-1)/(2N^2)

3^N>e^N>1+N+N^2/2+N^3/6
3^N-1>N^3/6
だから

≧lim[N→∞]N/12
=∞
だから

lim[N→∞]f(N)(Σ[n=1,N]a[n])=0とならない

この回答へのお礼

lim[N→∞]f(N)(Σ[n=1,N]a[n])
ではなく
lim[N→∞]f(a[N])(Σ[n=1,N]a[n])
ですね。

お礼日時：2021/06/15 14:15