ある企業は賃金1000円の労働と、レンタル価格 2000円の資本を使って単価10000円の財を生産し

Question

ある企業は賃金1000円の労働と、レンタル価格 2000円の資本を使って単価10000円の財を生産しており、その生産関数はy=2L^0.4K^04 (y: 生産量、L : 労働量、K: 資本量) である。 ただし、LとKは0以上の値とする。

(1) LとKを独立変数にもつ利潤関数を定義せよ。

(2) 利潤が極値をもつための一階の条件を満たす、労働と資本の量を求めよ。

生産関数から利潤関数を求める方法と、一階の条件がいまいちよくわかりません。
分かる方お助けいただけると幸いです

gootarohanako · Accepted Answer

質問が閉じられていないということはまだ何か質問があるのだろうか？

gootarohanako · Answer

>|H1|=-0.073<0

|H2|=0.012>0
となり負値定符号行列になるため
極大になるとわかりました！

(L,K)=(8192,4096)をわざわざ代入して面倒な計算をするひつようありません。L>0,K>0の下で以下の符号(-,+)が一般的に成り立つことは一目瞭然だからだ。
|H1|=ΠLL＝- 4800L^-1.6K0.4<0,
|H2|=(4800^2 - 3200^2)L^-1.2K^-1.2>0

むしろ、（L,K）＞０のもとでHessianが符号をマイナス、プラスと交代することのほうが重要。ΠがKとLの厳密に凹関数であることを示しているからだ。

gootarohanako · Answer

>ヘッセ行列
F=(-6/25L^-1.6 、4/10K^-0.6)
    (4/5L^-0.6 、-6/25K^-1.6)
となる??？

わたしの計算では直ちに
ΠLL＝-4800L^-1.6K^0.4
ΠLK＝3200L^-0.6K^-0.6
ΠKL＝3200L^-0.6K^-0.6
ΠKK = -4800L^0.4K^-1.6
と計算される。もちろん、（L,K)＝（8192,4096)を代入する前のHessianだが。。あなたのHessianはどうやって得た？
これを用いれば、|H1|=ΠLL<0,
 |H2|=(4800^2 - 3200^2)L^-1.2K^-1.2>0
と、Hessian行列式のpricipal minorが負値からはじまって符号が交代するので、（L,K)=(8192,4096)がΠを最大化することことが簡単に確かめられる。

どこか間違っているかい？

gootarohanako · Answer

>L＝8^5・(1/2)^2=64×64×2＝2048
となるが。。。どこかおかしいだろうか？

たしかに、おかしい。L＝64×64×2＝8192が正しい答え。よってK=(1/2)×8192＝4096となる。
2階の条件であるHessian行列式は計算してみたかい？問題には2階の条件を確かめよ、とはないけど。。。

gootarohanako · Answer

>ここで出てきたLの値からKを求めて一階の条件となるのですね

一階の条件とは
0=∂Π/∂L＝∂Π/∂K
のこと。（L,K)＝(2048,1024)は一階の条件を満たす値ということになる。この解が2階の条件であるΠ関数のHessian行列Hが負値定符号条件を満たすすなら、最大値（極大値）であることが保証される。ΠについてHessian行列Hとは
　ΠLL  ΠLK
   ΠKL  ΠKK
からなる行列のこと。この行列から作ったHessian行列式のprincipal minorsを上で求めたLとKの値で評価したとき、負値からはじまり、正値で終わるなら、最大値の2階の条件を満たすことになる。トライしてごらん。

gootarohanako · Answer

＞L=32、1024がでました！

あなたの答えあってるかい？K=(1/2)Lを上の式に代入すると
L^-0.2・(1/2)^0.4=1/8
L^(1/5)=8(1/2)^(2/5)
両辺を5乗すると
L＝8^5・(1/2)^2=64×64×2＝2048
となるが。。。どこかおかしいだろうか？

gootarohanako · Answer

そうか、そもそもNo.2の
Π=1000×2L^0.4K^0.4 - 1000L - 2000K
 = 2000L^0.4K^0.4 -1000L - 2000K
の右辺の第1項が０が一つ足りず、間違っていたか？納得。

Π= 20000L^0.4K^0.4 - 1000L - 2000K
なら、
8000L^-0.6K0.4 = 1000
8000L^0.4K-0.6 = 2000
となる。上の式を下の式を割る。すると、
K/L=1/2
K=(1/2)L
となる。あとは、上の式のKに今求めたK=(1/2)Lを代入して、Lだけが未知数の式にして、Lについて解けばよい。

gootarohanako · Answer

＞Lの微分は
8000L^-0.6K^0.4-1000=0
(L,K)=(3.2)
Kの微分は
8000L^0.4K^-0.6-2000=0
(2.3)
となるのでしょうか？

まず、微分して0と置いた式は
800L^-0.6K^0.4=1000
800L^0.4K^-0.6 = 2000
ではないの？この２つの式から
K/L=1/2
が求まる。これら３つの式からLとKを求めてごらん。（L,K)=(3,2)となりますか？ならないでしょう！

gootarohanako · Answer

>Π＝10000×F(2L^0.4,K^0.4)-1000L-2000K
となるところまでは分かったのですがこれらをどう計算すればいいのかわかりません。この状態で終わらせていいのでしょうか？

Y=F(L,K)=2L^0.4K^0.4
だから、
Π=1000×2L^0.4K^0.4 - 1000L - 2000K
  = 2000L^0.4K^0.4 -1000L - 2000K
となる。あなたの式のどこがおかしいかわかるだろうか？
この式をベースに一階の条件、つまりΠをLで偏微分して0と置いた式とΠをKで微分して0と置いた式はどうなる？それをLとKについて解くとどうなる？