確率変数の問題についてです。

確率変数の問題についてです。ご回答をよろしくお願い致します。

確率変数 X, Y に対して，E(X^2) < ∞, E(Y^2) < ∞
{E(XY )}^2 ≤ E(X^2)E(Y^2) が成り立つことを示しなさい。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/16 16:25

{ E(XY) }^2 ≦ E(X^2) E(Y^2) は、示すことができるかな。

確率変数 Z = (tX+Y)^2 について E(Z) を考えると、
E(Z) = E( (tX+Y)^2 )
　　= E( (t^2)X^2 + 2tXY + Y^2 )
　　= (t^2)E(X^2) + 2tE(XY) + E(Y^2).　　←[1]

任意の実数 u について Z ≧ 0 だから、
2次関数 [1] の判別式は
D/4 = { E(XY) }^2 - E(X^2) E(Y^2) ≦ 0 となる。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/18 01:55

#3へのコメント、鋭いご指摘です。

E(xy)＝E(x)E(y)
は無相関の時にしか成立しませんね。
独立でないとすると、
E(xy)＝E(x)E(y)＋cov(x,y)
です。covは正負の値を取り得ます。
頭から抜けていました。

https://manabitimes.jp/math/910

私の証明は、無相関の場合に限定して下さい。
より一般化すると、やはり#2さんの証明しか無いかと思います。無念！

https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm …

この５ページに証明があります。
Satz 9.2.8 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)の定理の証明です。

まだまだ、勉強不足です。精進します。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/18 00:36

#4です。

すみませんが、回答中の不等号には全てイコールも含めて下さい。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/18 00:30

#3です。

すでに、#2さんにより解が示されていますが、もっと簡単な別解です。

V(x)=E(x^2)-E(x)^2　より、

E(x^2)=E(x)^2+V(x)
E(y^2)=E(y)^2+V(y)

E(x^2)E(y^2)＝{E(x)^2+V(x)}{E(y)^2+V(y)}
=E(x)^2E(y)^2+E(x)^2V(y)+E(y)^2V(x)+V(x)V(y)
={E(x)E(y)}^2+E(x)^2V(y)+E(y)^2V(x)+V(x)V(y)
={E(xy)}^2+E(x)^2V(y)+E(y)^2V(x)+V(x)V(y)

ここで、
E(x)^2>0,
E(y)^2>0
V(x)>0
V(y)>0
より、
{E(xy)}^2＜{E(xy)}^2+E(x)^2V(y)+E(y)^2V(x)+V(x)V(y)

ゆえに、
{E(xy)}^2＜E(x^2)E(y^2)

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。
統計学初心者で不快な質問になるかもしれませんが、{E(x)E(y)}^2= {E(xy)}^2のところがまだ理解できません。よかったらご説明していただけませんか？

お礼日時：2021/06/18 00:55

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/06/18 00:00

企業で統計を推進する立場の者です。

#1さんのおっしゃるとおり、２次モーメントが無限大になることがあります。コーシー分布です。Wikiに証明があります。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC …

ですから、この問題の解を得るには分布の仮定が必要です。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/16 13:44

X,Y がどんな確率変数だか明かされてないのに、

E(X^2) < ∞ や E(Y^2) < ∞ は示せないでしょう？