積分計算について

次の式の不定積分を、√(x^2-4x-2)=t-x　と置かずに説く方法はありますでしょうか。回答よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/17 04:08

√(x^2-4x-2)=t-x と置いて解く方法がわからない。

√(x^2-4x-2)=√{(x-2)²-6} だから
　(x-2)-√{(x-2)²-6}=t
とおく。すると
　x=2+(t²+6)/2t
また
　(1-(x-2)/√{(x-2)²-6})dx=dt
　　→ -tdx/√{(x-2)²-6}=dt → dt/t=-dx/√{(x-2)²-6}
また
　(x-1)t={1+(t²+6)/2t}t=t+(t²+6)/2

すると
　I=∫dx/{(x-1)√(x^2-4x-2)}
　 =-∫dt/{(x-1)t}=-∫dt/{t+(t²+6)/2}
　 =-2∫dt/{t²+2t+6)=-2∫dt/{(t+1)²+5}
　 =-(2/√5)tan⁻¹{(t+1)/√5}

　 =-(2/√5)tan⁻¹( [x-1-√{(x-2)²-6} ]/√5 )
　 =-(2/√5)tan⁻¹( [x-1-√(x²-4x-2) ]/√5 )

積分定数は略

この回答へのお礼

助かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2021/06/17 17:03

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/16 22:46

x = 2 + (√6)(cosh u) と置く。

この回答へのお礼

なるほど、ありがとうございました。

お礼日時：2021/06/17 17:02