【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

正の実数eを
∫[1→e]1/xdx=1
を満たすものと定義します。このとき
e≦3
はどのように示されるでしょうか?
積分や関数の性質を利用してなるべく
簡単に示せるといいのですが…。

A 回答 (3件)

上限を e から 3 に変えたときに定積分が 1 より大きいことを示せばよく,


上底と下底がそれぞれ 1/4 と 3/4, 高さが 2 の台形の面積が 1
だから.
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この回答へのお礼

Thank you

ありがとうございます。
その台形の一辺は接線となっているのですね。

というか、x=2で接していることくらい書いとけや、と思うのですが…。
接線であること、つまり台形がグラフの下方にあることは面積比較で重要な情報をですよね。
ですから、こんなケチ臭いことせずに接線であることくらい書け、と心の底から不信感を抱きました。

他の方へのあなたの回答見ていると、どれもドケチ根性が滲み出ていて、読んでいて気が滅入ります。
丁寧で分かりやすく、読んでいて豊かな気持ちになれるような回答が出来ないものでしょうか…?

お礼日時:2021/06/19 16:49

証明


二項定理より,

a_n=(1+ 1/n )^ n

= ∑[k=0~n](nC k)1/(n^k)

=∑[k=0~n]1/(k!) *1*(1-1/n)*(1-2/n)…(1-(k-1)/n)

≦∑[k=0~n]1/(k!)

≦1+1+1/2+1/2²+1/2³+…

=1+(1/(1-1/2))=3
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この回答へのお礼

ありがとう

ありがとうございます。
このような方法もあるのですね。

お礼日時:2021/06/19 16:42

1/(n+4)<∫[(n+3)/4→(n+4)/4](1/x)dx


だから
1/5<∫[1→5/4](1/x)dx
1/6<∫[5/4→3/2](1/x)dx
1/7<∫[3/2→7/4](1/x)dx
1/8<∫[7/4→2](1/x)dx

1/(n+4)<∫[(n+3)/2→(n+4)/2](1/x)dx
だから
1/5<∫[2→5/2](1/x)dx
1/6<∫[5/2→3](1/x)dx

1/5+1/6+1/7+1/8+1/5+1/6<∫[1→3](1/x)dx

1/5+1/6+1/7+1/8+1/5+1/6=841/840
だから

841/840<∫[1→3](1/x)dx

∫[1→e](1/x)dx=1<841/840<∫[1→3](1/x)dx

∫[1→e](1/x)dx<∫[1→3](1/x)dx


e<3
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます。
助かりました。

お礼日時:2021/06/19 16:42

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