至急です！フレネの公式について教えてください

曲線 c(s) = (x(s), y(s)) を弧長パラメータ表示, κ を c の曲率とする. e1 = dc とおき, e1 を ds反時計回り 90度回転させたベクトルを e2 とする。 フレネの公式を導けという問題なのですが、
どなたか教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/20 16:49

あれ？ 2次元版か...

No.1 の議論において、曲線 r が標準基底上で
r = c = (x,y,0) と成分表示される場合を考えると、
τ = 0 とともに目的の式が導かれる。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/20 16:42

遅回答

[1]
実数 t で添字付けられた正規直交基底 {e₁,e₂,e₃} の
基底ベクトル e₁,e₂,e₃ が t で微分可能であるとする。
正規直交条件は、
e₁・e₁ = e₂・e₂ = e₃・e₃ = 1,
e₁・e₂ = e₂・e₃ = e₃・e₁ = 0.　　(ただし、「・」は内積を表す。)
と書ける。 この式を t で微分すると、
2e₁・e₁’ = 2e₂・e₂’ = 2e₃・e₃’ = 0,
e₁’・e₂ + e₁・e₂’ = e₂’・e₃ + e₂・e₃’ = e₃’・e₁ + e₃・e₁’ = 0.
となる。
{e₁,e₂,e₃} は基底なので、 e₁’,e₂’,e₃’ を成分表示して、
e₁’ = (a₁₁)e₁ + (a₁₂)e₂ + (a₁₃)e₃,
e₂’ = (a₂₁)e₁ + (a₂₂)e₂ + (a₂₃)e₃,
e₃’ = (a₃₁)e₁ + (a₃₂)e₂ + (a₃₃)e₃.
と書ける。 この式を、微分した方の正規直交条件の式へ代入して
微分する前の正規直交条件の式を使って整理すると、
a₁₁ = a₂₂ = a₃₃ = 0,
a₁₂ + a₂₁ = a₂₃ + a₃₂ = a₃₁ + a₁₃ = 0.
となる。
以上をまとめると、
e₁’ = (a₁₂)e₂ + (a₁₂)e₃,
e₂’ = (-a₁₂)e₁　　　　　　+ (a₂₃)e₃,
e₃’ = (-a₁₂)e₁ + (-a₂₃)e₂.
と書ける。

[2]
実数 t から単位ベクトル n への微分可能な写像 n(t) を考え
e₁ = n,
e₂ = n’/|n’|,
e₃ = e₁×e₂.　　(ただし、「×」は外積を表す。)
と置くと、この e₁,e₂,e₃ は[1]の要件を満たす。
特に e₂ の定義式から e₁’ = |n’|e₂ となっているから、
[1]の式と比較すると
a₁₂ = |n’|,
a₁₃ = 0.
であることが判る。

[3]
実数 t からベクトル r への2階微分可能な写像 r(t) を考え
n = r’/|r’| と置くと、[2]が適用できる。
その式を、 t から s = ∫|r’|dt へ変数変換すると、
係数名を適当に置き換えて
de₁/ds = 　　　　κ e₂,
de₂/ds = -κ e₁　　　　　　+ τ e₃,
de₃/ds = 　　　　-τ e₂.
と書ける。 この式を「フレネ・セレの公式」と呼ぶ。
ここに現れた s の関数 κ,τ をそれぞれ「曲率」「捩率」と定義する。