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数学の質問です。

n≧2 と n=1 で場合分けしてるのは何故ですか?

場合分けしなくてもいいように思いますが…。

「数学の質問です。 n≧2 と n=1 で」の質問画像
gooドクター

A 回答 (2件)

その写真の文章は、肝心な部分を Σ ぬきで「+…+」で書いてしまっているので


n ≧ 2 と n = 1 で場合分けする理由が判りにくいのですが、
①-② の計算は本来
Sn - 2Sn = Σ[k=1..n] (k+1)2^k - 2Σ[k=1..n] (k+1)2^k
= { 2・2^1 + Σ[k=2..n] (k+1)2^k } - 2{ Σ[k=1..n-1] (k+1)2^k + (n+1)2^n }
= 2・2^1 + { Σ[k=2..n] (k+1)2^k } - 2Σ[k=1..n-1] (k+1)2^k } - (n+1)2^(n+1)
= 4 + { Σ[k=2..n] (k+1)2^k } - 2Σ[m=2..n] m・2^(m-1) } - (n+1)2^(n+1)
= 4 + { Σ[k=2..n] (k+1)2^k } - 2Σ[k=2..n] k・2^(k-1) } - (n+1)2^(n+1)
= 4 + Σ[k=2..n]{ (k+1)2^k } - 2k・2^(k-1) } - (n+1)2^(n+1)
= 4 + Σ[k=2..n]{ 2^k } - (n+1)2^(n+1)
= 4 + (2^2)( 1 - 2^(n-1) )/(1 - 2) - (n+1)2^(n+1)
です。

途中に Σ[k=2..n] や Σ[k=1..n-1] が現れるので、
n ≧ 2 でないと計算できないのです。
このため、 n = 1 だけ別扱いにしてあります。
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n=1とおく前の部分で2のn-1乗とおいている部分がありますよね?


本来ならそこに1より小さい数を入れたら数列が成り立たなくなってしまうんです→nの0乗になるから
だから、最初にnは2以上だということを断っておく必要があります。
で、最終的にn=1でも成り立てば本当に答えたことになります。
写真が見ずらいので間違っていてもお許しを!
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