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どうやって 2θ+α=π/2を求められるかどうして2θ+α=π/2でZの最小値と最大値を求められる?

この問題の解説によると2θ+α=π/2の時 (13/2)Sin(2θ+α)と(12Sin2θ+5Cos2θ)/2+17/2で最大値と最小値をぞれぞれ求められるけど、どうしてその2つの数式で最大値と最小値を求められるか説明されていない。それになんで2θ+α=π/2なのかわからない。説明していただけませんか。

参考にすることができるように答えを埋めた。

「どうやって 2θ+α=π/2を求められる」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 訂正:13/2(2θ+α)じゃなくて 13/2(2θ+α)+17/2

      補足日時:2021/06/19 04:28
gooドクター

A 回答 (2件)

質問文がいまいち日本語になってなくて、


解説のどの部分が解らないのかが判らないが...

C が x = cosθ, y = sinθ でパラメータ表示できる
ことは理解できているとして、それを
z = 11x² + 12xy + 6y² へ代入すれば
z = 11(cosθ)² + 12(cosθ)(sinθ) + 6(sinθ)² ←[1]
 = 6sin(2θ) + (5/2)cos(2θ) + 17/2    ←[2]
 = (13/2)sin(2θ+α) + 17/2       ←[3]
となる。
[1]から[2]へは、
 (cosθ)² + (sinθ)² = 1,
 (cosθ)² - (sinθ)² = cos(2θ),
 2(cosθ)(sinθ) = sin(2θ)
を使って式変形している。
[2]から[3]への変形は、いわゆる「三角関数の合成」で
 cosα = 12/13, ←[4]
 sinα = 5/13  ←[5]
であるような α を持ってきて、sin の加法定理を使っている。
[4][5]より、tanα = 5/12 になる。

こうして、 z が1個の sin で表せたので、
z の最大最小は簡単に判るようになった。
φ = 2θ+α と置けば、その先の話が見やすいだろうか。
0 ≦ θ ≦ π/2 であり、α は定数なので、
φ の変域は α ≦ φ ≦ π+α. この範囲での
z = (13/2)sinφ + 17/2 の最大最小を見つければよい。
[4][5]で cosα > 0, sinα > 0 であったことから
α は 0 < α < π/2 の範囲にとることができる。
以上を踏まえて sin のグラフを描いて考えると、  ←[6]
(13/2)sinφ が最大になるのは φ = π/2 のとき、
最小になるのは φ = (3/2)π のときであり、
z の最大最小もそれぞれそのときである。

解説の末尾の文を読み違えているようだが、
z が定数関数でない限り、最大値と最小値が
同じ φ = π/2 のときのわけがない。
あの文は、
「2θ+α のとき、 (z は最大値 15 をとり、 z の最小値は 6 である。)」
と区切るのではなく、
「(2θ+α のとき、 z は最大値 15 をとり、) z の最小値は 6 である。」
と区切って読む。
解文説の日本語も感心はしないが、これが読めないのは相当ヤバイ。

もし、[6]について再度「なぜ?」と質問するのであれば、それは
補足に自分で書いた sin のグラフを挙げてからにしてほしいと思う。
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この回答へのお礼

日本語でこんなに長い質問を聞くのが初めてどこから始めればいいか迷っちゃっていた。聞きたいものをはっきり伝えなかったのに説明してくれてありがとう

お礼日時:2021/06/19 11:08

sin(2θ+α)≦1


だから
2θ+α=π/2

最大
sin(2θ+α)=sin(π/2)=1
となるから
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