複素積分の問題で・・・

大学院試験の過去問なんですが、
φ(z)=f(z)/{(z-a)(z-b)}の関係式があるとき、
無限遠点における留数はゼロであることを証明するという内容で、
条件として
f(z)はz-平面で有限領域において正則で、
かつ｜f(z)｜は一定数Ｍより小さいとする。
a,bは複素数(a≠b）とする。
無限遠点というのは、リーマン面に写像するときに
球の頂点と対応させるために定義した点だと理解したのですが、
何を言えばいいのかわからず悩んでいます。
長くなってすいません・・・

No.2 回答者： KiyoAki 回答日時： 2001/08/30 17:14

　φ(z)の、zの無限遠点における留数を求めるのは厄介ですので、p=1/zとしてp=0での留数を求められると良いでしょう。

　φ(1/z)=f(1/z)/{(1/z-a)(1/z-b)}から、φ(p)=f(p)/{(p-a)(p-b)}ですが、これをp=0を中心としてローラン展開すると、
φ(p)={f(p)/a/b}(1+p/a+…)(1+p/b+…)
になります。
　題意から｜f(p)｜<Ｍですので、φ(p)のp=0を中心とするローラン展開はpの負のべき乗項を持ちません。従って、φ(p)はp=0で正則か、またはp=0は高々除去可能な特異点ということになります。
　従って、p=0を囲む閉曲線に沿っての積分の絶対値はp=r・exp(jq)として、
｜1/(j2π)Sφ(p)dp｜<｜1/(j2π)SMdp｜=lim(r→0)｜1/(2π)SMr・exp(jq)dq｜=0
になります。これより、φ(p)のp=0における留数は、
1/(j2π)Sφ(p)dp=0
になります。従って、元に戻って、φ(z)の、zの無限遠点における留数は0ということになります。
(積分記号がすべてSに化けております。また、表示がうまくいきませんので、lim(r→0)と変な書き方をしております。）

No.1 回答者： brogie 回答日時： 2001/08/25 20:15

ヒントを書いておきます。

Cauchyの積分表示の定理
f(a)=(1/2πi)∫f(z)/(z-a)dz
積分は閉曲線Cについて行う。∫に○のついた記号です。
aは閉曲面内の一点。
以下∫記号は同じく解釈してください。

f(a)=(1/2πi)∫f(z)/(z-a)dz
f(b)=(1/2πi)∫f(z)/(z-b)dz

f(a)-f(b)=((a-b)/2πi)∫f(z)/(z-a)(z-b)dz

z=Rexp(iφ)
とおき、R→∞とすると、この積分は0になる。

留数はご存知ですネ？

では。

この回答への補足

f(a)-f(b)=((a-b)/2πi)∫f(z)/(z-a)(z-b)dz
（留数）= {f(a)-f(b)}/(a-b)=(1/2πi)∫f(z)/(z-a)(z-b)dz
これが留数となって、
z=R・exp(iφ)をこれに代入すると積分の中身の分母のほうが
Rの次数が高くなって R→∞ とすると右辺がゼロになる。
だから、無限遠点における留数はゼロということでしょうか？
ちょっとまだ自信がないんですが・・・
あと、無限遠点という言い回しは、僕の解釈であっています？

補足日時：2001/08/25 22:09