大学院試験の過去問なんですが、
φ(z)=f(z)/{(z-a)(z-b)}の関係式があるとき、
無限遠点における留数はゼロであることを証明するという内容で、
条件として
f(z)はz-平面で有限領域において正則で、
かつ|f(z)|は一定数Mより小さいとする。
a,bは複素数(a≠b)とする。
無限遠点というのは、リーマン面に写像するときに
球の頂点と対応させるために定義した点だと理解したのですが、
何を言えばいいのかわからず悩んでいます。
長くなってすいません・・・

A 回答 (2件)

 φ(z)の、zの無限遠点における留数を求めるのは厄介ですので、p=1/zとしてp=0での留数を求められると良いでしょう。


 φ(1/z)=f(1/z)/{(1/z-a)(1/z-b)}から、φ(p)=f(p)/{(p-a)(p-b)}ですが、これをp=0を中心としてローラン展開すると、
φ(p)={f(p)/a/b}(1+p/a+…)(1+p/b+…)
になります。
 題意から|f(p)|<Mですので、φ(p)のp=0を中心とするローラン展開はpの負のべき乗項を持ちません。従って、φ(p)はp=0で正則か、またはp=0は高々除去可能な特異点ということになります。
 従って、p=0を囲む閉曲線に沿っての積分の絶対値はp=r・exp(jq)として、
|1/(j2π)Sφ(p)dp|<|1/(j2π)SMdp|=lim(r→0)|1/(2π)SMr・exp(jq)dq|=0
になります。これより、φ(p)のp=0における留数は、
1/(j2π)Sφ(p)dp=0
になります。従って、元に戻って、φ(z)の、zの無限遠点における留数は0ということになります。
(積分記号がすべてSに化けております。また、表示がうまくいきませんので、lim(r→0)と変な書き方をしております。)
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ヒントを書いておきます。



Cauchyの積分表示の定理
f(a)=(1/2πi)∫f(z)/(z-a)dz
積分は閉曲線Cについて行う。∫に○のついた記号です。
aは閉曲面内の一点。
以下∫記号は同じく解釈してください。

f(a)=(1/2πi)∫f(z)/(z-a)dz
f(b)=(1/2πi)∫f(z)/(z-b)dz

f(a)-f(b)=((a-b)/2πi)∫f(z)/(z-a)(z-b)dz

z=Rexp(iφ)
とおき、R→∞とすると、この積分は0になる。

留数はご存知ですネ?

では。

この回答への補足

f(a)-f(b)=((a-b)/2πi)∫f(z)/(z-a)(z-b)dz
(留数)= {f(a)-f(b)}/(a-b)=(1/2πi)∫f(z)/(z-a)(z-b)dz
これが留数となって、
z=R・exp(iφ)をこれに代入すると積分の中身の分母のほうが
Rの次数が高くなって R→∞ とすると右辺がゼロになる。
だから、無限遠点における留数はゼロということでしょうか?
ちょっとまだ自信がないんですが・・・
あと、無限遠点という言い回しは、僕の解釈であっています?

補足日時:2001/08/25 22:09
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