関数gが実連続関数でlim_{x->∞} g(x)=Aだとする。このとき、 lim{b->∞}1/b

関数gが実連続関数でlim_{x->∞} g(x)=Aだとする。このとき、
lim{b->∞}1/b^2 ∫(0からb) g(x)dx
を求めて下さい

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/20 17:45

大雑把な話、lim{x->∞} g(x) = A というのは

ほとんどの x で g(x) ≒ A ということだから、
1/b^2 ∫(0からb) g(x)dx ≒ (1/b^2) ∫(0からb) Adx = A/b であり、
ｂ->∞ のとき (1/b^2) ∫(0からb) g(x)dx → 0 になりますよね。
これを、まともな数式で書けばよいわけで...

任意の正数 ε に対して、
x > δ ならば ｜g(x) - A｜ < ε になるような δ が在るのだから、
A-ε < g(x) < A+ε より、 十分大きい b に対して
(A-ε)(b-δ) < ∫(δからb) g(x)dx < (A+ε)(b-δ)
が成り立ちます。

よって、
S = ∫(0からδ) g(x)dx と置いて
{ S + (A-ε)(b-δ) }/b^2 < (1/b^2) ∫(0からb) g(x)dx < { S + (A+ε)(b-δ) }/b^2
が言えます。
この式で、ひとつの ε とそれにともなう δ を固定して
ｂ->∞ の極限をとれば、ハサミウチの定理により
lim{b->∞} (1/b^2) ∫(0からb) g(x)dx = 0
です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時：2021/06/26 09:41

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/20 08:08

lim_{x->∞} g(x)=A → ∀ε>0, ∃M>0 , x>M → |g(x)-A|<ε

ε=|A|/2とすると、三角不等式から
　||g(x)|-|A||<|A|/2 → |g(x)|<3|A|/2 (x>M)

つぎに、g(x)は連続だから [0,M]で |g(x)| は最大値が存在する。
それを Gとする。

b → ∞なので、 b>M とすれば
|∫[0→b] g(x)dx|≦∫[0→b] |g(x)|dx
　　=∫[0→M] |g(x)|dx+∫[M→b] |g(x)|dx
　　≦∫[0→M] G dx+∫[M→b] 3|A|/2 dx
　　 =GM+3|A|(b-M)/2

したがって
　lim[b → ∞] |(1/b²)∫[0→b] g(x)dx|
　　　≦lim[b → ∞] {GM+3|A|(b-M)/2}/b² → ０

ゆえに、与式は０

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時：2021/06/26 09:41