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この3題が分からないので教えていただきたいです。

①複素数z、wについて|z+w|^2+|z-w|^2=2(|z|^2+|w|^2)が成立するが、これは幾何において何の定理を表しているか述べよ。

②点zが複素数平面の虚軸上を動く時、w=z/(z+1)を満たす点wが描く図形を求めよ。

③ 点zが複素数平面の実軸上を動く時、w=(z-i)/(z+i)を満たす点wが描く図形を求めよ。

急いでいるのでなるはやでお願いします!!!

gooドクター

A 回答 (1件)


中線定理
△OABにおいて
MをABの中点とすると
|OA|^2+|OB|^2=2(|OM|^2+|AM|^2)
が成り立つ
この性質を中線定理という
↑MO=z
↑MA=w
とすると
↑AO=↑MO-↑MA=z-w
↑BO=↑BM+↑MO=↑MA+↑MO=w+z


zの共役複素数をz~とすると
zの実部は0だから
z+z~=0

w=z/(1+z)

w-1/2
=2z/{2(1+z)}-(1+z)/{2(1+z)}
=(z-1)/{2(z+1)}

|w-1/2|^2
=(w-1/2)(w~-1/2)
=(z-1)(z~-1)/{4(z+1)(z~+1)}
=(|z|^2+1)/{4(|z|^2+1)}
=1/4

中心1/2半径1/2の円


zの虚部は0だから
z=z~

w=(z-i)/(z+i)

|w|^2
=ww~
=(z-i)(z~+i)/{(z+i)(z~-i)}
=(z-i)(z+i)/{(z+i)(z-i)}
=1

中心0半径1の円
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この回答へのお礼

なるほど!!!!!!!
わかりやすい説明ありがとうございます!!!
助かりました!

お礼日時:2021/06/20 18:50

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