数学の質問です。 10本の鉛筆を3人に分けるとき、1本ももらえない人がいても良いとするときに、分け方

数学の質問です。

10本の鉛筆を3人に分けるとき、1本ももらえない人がいても良いとするときに、分け方は全部で何通りあるか。

という問題で、鉛筆1本ごとに分け方が3通りあるから、3¹⁰＝19683通りと思ったんのですが、
答えは12C2＝66通りとのことでした。
解説を見て納得はしたのですが、自分の当初の考え方も間違っては無いのでは無いかと思います。何が間違っているのか教えてください。

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2021/06/21 17:48

誤りは、

1本貰えない人がいても良い。

みんな1本は貰える。

No.2 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2021/06/21 17:49

間違いは、貰えなくても良い。

良くは無いッ！

No.3 回答者： ohkinokomushi 回答日時： 2021/06/21 17:55

鉛筆10本を

鉛筆A, 鉛筆B,…,鉛筆J
のように区別して考えるなら間違ってはいないと思います。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/06/21 18:01

A:1本、B:4本、C:5本

A:1本、B:5本、C:4本
A:4本、B:1本、C:5本
A:4本、B:5本、C:1本
A:5本、B:1本、C:4本
A:5本、B:4本、C:1本
3人を区別して無いんだから、上は全部で1通り。

同様にA10本、B10本、C10本もこれで1通り
同様に5本ずつの場合も、1通り

3¹⁰だと、色々なパターンのダブリが出てくる。

で、3¹⁰=59049だな。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/21 18:42

何人か書いているが、

3^10 通りは 10 本の鉛筆が全て区別できる場合の分け方の数。
Aさんが赤鉛筆を 1 本,Bさんが青鉛筆を 1 本もらう状況と
Aさんが青鉛筆を 1 本,Bさんが赤鉛筆を 1 本もらう状況を区別するなら、
その数え方になる。10 色の色鉛筆を分ける場合とかね。

鉛筆がどれも同じように見えて、本数だけを考える場合には、
分け方はずっと少なくなる。
まず、10 本を 3 組の束に分けよう。
　　x +y + z = 10,
　　x ≧ 0, y ≧ 0, z ≧ 0,
　　x ≧ y ≧ z
となるような整数 x,y,z の組み合わせは、
　　10,0,0
　　9,1,0
　　8,2,0
　　8,1,1
　　7,3,0
　　7,2,1
　　6,4,0
　　6,3,1
　　6,2,2
　　5,5,0
　　5,4,1
　　5,3,2
　　4,4,2
　　4,3,3
の合計 14 通り。
その中で x,y,z の値が皆異なるものについては、
x,y,z を 3 人に割り当てる方法が 3！ 通りづつ。
x,y,z の中に同じ値があるものについては、
x,y,z を 3 人に割り当てる方法が 3C2 通りづつ。
よって、分け方の総数は、
(3！)×8 + (3C2)×6 = 66 通り。

12C2 というのは、重複組み合わせの話だと思う。
10H3 = 12C2 = 66 となる。
興味があれば、「重複組み合わせ」を検索検索。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/06/22 12:46

>10本の鉛筆を3人に分けるとき

これ、鉛筆を区別するか、3人を区別するかで答えが全然違う
一本ももらえない人がいるのが OK とすると

鉛筆を区別する、3人を区別する　→ 3^10 通り
鉛筆を区別する、3人を区別しない → 地道に数える
鉛筆を区別しない、3人を区別する → 仕切り法 12C2 = 66
鉛筆を区別しない、3人を区別しない → 地道に数える

あなたの計算は10色の色鉛筆の分け方。
A、B、Cがそれぞれ受け取った鉛筆の本数と色の組み合わせで
分け方を区別する。

A, B, C がそれぞれ何本受け取ったかのみで分け方を区別するのが
66 の方。

No.7 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/06/23 19:45

鉛筆の本数を減らして考えてみます。

3本の鉛筆をAさん、Bさん、Cさんに分けるとき、分け方は全部で何通りあるか

鉛筆1本ごとに分け方が3通りあるから、3³=27(通り)とします。
この27通りのうち、3人に1本ずつ分けられる場合は次のようになります。
1本目の鉛筆をAさん、２本目の鉛筆をBさん、３本目の鉛筆をCさんに分けることを (A,B,C) と表すことにすると、(A,B,C)、(A,C,B)、(B,A,C)、(B,C,A)、(C,A,B)、(C,B,A) の6通りです。

分ける経過を考えると6通りになりますが、分けた結果だけをみるとこれらはすべて3人に1本ずつ分けられる場合なので同じです。問題できかれている分け方というのは、経過は考えないので、これらを同じものとみて1通りと考えます。つまり、3³=27(通り)というのは分ける経過まで考えた分け方の総数です。

10本の鉛筆についてきかれている分け方も同様で、分ける経過は関係なく分けた結果が何通りあるかをきかれています。したがって、3¹⁰＝19683通りではなく、12C2＝66通りです。

この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとうございます！
あと、3¹⁰＝59049でした。笑

お礼日時：2021/06/24 09:14