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数学の質問です。

実数a.bが a²+b²+2a+2b−2=0…① を満たしながら変化するとき、(a+b , ab)を座標とする
点P(x , y)はどのような曲線を描くか、その軌跡を求めよ。

という問題で、①を整理して、(−1, −1)を中心とした半径2の円であることがわかります。このことからa.bの座標平面上で図示すると
−3≦a≦1、−3≦b≦1 ということがわかりますから、
x=a+bを利用して、xの定義域は−6≦x≦2だと思ったのですが、実際は、
 aとbを解に持つtの二次方程式を考えて、実数解を持たないといけないことから、判別式をDとして、
D≧0として〜〜と言った形で、
−2−2√2≦x≦−2+2√2
が正解となっていました。
 ここで質問ですが、前者はどうしていけないのでしょうか。

A 回答 (9件)

「(−1, −1)を中心とした半径2の円」ならば、


確かに −3≦a≦1、−3≦b≦1 ですが、
x=a+b は -6 には 成れませんよね。
この問題の グラフを イメージしてみて下さい。
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この回答へのお礼

確かに、本当ですね。ありがとうございました!

お礼日時:2021/06/26 11:09

xの範囲だけ考えます。


a , b は実数
a²+b²+2a+2b−2=0…①
x=a+b…②

①は、(−1, −1)を中心とした半径2の円なので、
−3≦a≦1、−3≦b≦1
a , b が無関係であれば、これより、
-6≦a+b≦2
とできますが、a , b には①の関係があるので
-6≦a+b≦2 は成り立ちません。
[(a , b)=(-3 ,-3) , (1 , 1) を①に代入しても①は成り立ちません]

①は円を表しますが、②は、b=-a+x なので、傾きー1, b切片 x の直線を表します。①を満たす実数 a , b に対して②のxの範囲を求めるということは、①の円周上の点 (a,b) に対して②のxの範囲を求めるということですから、①の円と②の直線が共有点を持つ場合のxの範囲を求めることになります。
①と②からbを消去して a について整理すると、
2a²-2xa+x²+2x-2=0
共有点を持つということは、この a の2次方程式が実数解をもつということなので、
D/4=x²-2(x²+2x-2)=-x²-4x+4≧0
これより、
-2-2√2≦x≦-2+2√2

[別解]
①の円と②の直線が接する場合は、①の円の中心と②の直線の距離が円の半径に等しいときです。②の直線の式を a+b-x=0 として、点と直線の距離の公式を利用して、
|(-1)+(-1)-x|/√(1²+1²)=2
|-2-x|=2√2
-2-x=±2√2
x=-2±2√2
これより、円と直線が共有点を持つ場合のxの範囲は、
-2-2√2≦x≦-2+2√2
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ご質問の問題は実は2つの問題から構成されている。

というのは…

[1] 勝手な実数a,bを与えると実数(x,y)=(a + b, ab)が決まる。けれども、勝手な実数x,yを与えても必ずしも実数a,bが存在するとは限らない。だから、
  A = {(a + b, ab) | a∈実数 ∧ b∈実数} の範囲は?
という問題をまず片付ける必要がある。(Aってのは、「実数x,yに対応する実数a,bが存在するのは、(x,y)がAの要素であるとき、そのときに限る」ような集合のことです。)
 解いてみると:
 ● a,bが実数だということと、
 ● tの方程式
  (t-a)(t-b) = 0
が実数解を持つということ、
 ● 言い換えれば tの方程式
  t²- (a+b)t + ab = 0
が実数解を持つということ、
 ● すなわち tの方程式
  t²- xt + y = 0
が実数解を持つということ、
 ● さらに言い換えれば、この方程式の判別式が非負であるということ、
はどれも同値。だから、x,yを与えたときに実数a,bが存在する必要十分条件は
  x² - 4y ≧ 0
であり、つまり
  A = {(x,y) | 4y ≦ x²}

[2] で、残りの話を片付けると、
  a²+b²+2a+2b−2 = (a+b)² - 2ab + 2(a+b) - 2 = x² + 2x - 2 - 2y
なので、問題の図形をBとすると
  B = {(x,y) | x² + 2x - 2 - 2y = 0} ∩ A
  B = {(x,y) | x² + 2x - 2 - 2y = 0 ∧ 4y ≦ x² }
  B = {(x,x²/2 + x - 1) | 2x² + 4x - 4 ≦ x² }
  B = {(x,x²/2 + x - 1) | x² + 4x - 4 ≦ 0 }
  B = {(x,x²/2 + x - 1) | -2-2√2 ≦ x ≦ -2+2√2 }
となるわけ。
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①のグラフは、2y=x^2+2x-2ですが、


t^2-xt+y=0が実数解を持つので、D≧0より、x^2≧4y
この両者が成り立つ範囲となります。
ですので、x^2+4x-4=0を解き、両者の交点より、−2−2√2≦x≦−2+2√2

①から、aが決まれば、bも決まるのです。a,bが単独で動くのではないです。
(−1, −1)を中心とした半径2の円であることがわかります。これから、
円周上の点より、aを決めれば、bも決まる。
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a^2+b^2+2a+2b-2=0


(a+1)^2+(b+1)^2=4
{(a+1)/2}^2+{(b+1)/2}^2=1
(a+1)/2=cosθ
(b+1)/2=sinθ
となるθがある
a=-1+2cosθ
b=-1+2sinθ
------------------
-1≦cosθ≦1
-1≦sinθ≦1
-2≦2cosθ≦2
-2≦2sinθ≦2
-3≦-1+2cosθ≦1
-3≦-1+2sinθ≦1
-3≦a≦1
-3≦b≦1
となるけれども
a+b=-6と仮定すると
-3=a=-1+2cosθ
-3=b=-1+2sinθ
-2=2cosθ
-2=2sinθ
-1=cosθ
-1=sinθ
(cosθ)^2+(sinθ)^2=2となって
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1に矛盾するから
a+b≠-6
a+b=2と仮定すると
1=a=-1+2cosθ
1=b=-1+2sinθ
2=2cosθ
2=2sinθ
1=cosθ
1=sinθ
(cosθ)^2+(sinθ)^2=2となって
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1に矛盾するから
a+b≠2
------------------------
x
=a+b
=-2+2(cosθ+sinθ)
=-2+(2√2){(1/√2)cosθ+(1/√2)sinθ}
=-2+(2√2){sin(π/4)cosθ+cos(π/4)sinθ}
=-2+(2√2)sin(θ+π/4)

-1≦sin(θ+π/4)≦1
-2√2≦(2√2)sin(θ+π/4)≦2√2
-2-2√2≦-2+(2√2)sin(θ+π/4)≦-2+2√2

↓x=-2+(2√2)sin(θ+π/4)だから

-2-2√2≦x≦-2+2√2
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問題冒頭に「実数a.bが」と書いてあります。


後者の x,y で前者からはみ出すものに対しては、
対応する a,b が虚数になってしまうのです。
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図を書いてみれば一発なんだけど。


a=-3の時にb=-3なんて事は起きません。
なのにa+b=-6になると思いこんでいるから。
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−3≦a≦1、−3≦b≦1と出るところまでは合っていますが、a=-3,b=-3となるような点を考えてみてください。


方程式a²+b²+2a+2b−2=0はa=-3のときb=-1となるはずです。a=-3,b=-3を同時に満たす点は方程式上にありません。よってx(=a+b)の最小が6になるとは必ずしも言えないのです。
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例えばa=-3のとき b=-3は正しいですか?


aーb座標平面での円①の図をみてよく考えてみてください
また、①に(-3,-3)を代入してみれば等式が成り立たないことからもおかしいこと((-3,-3)は演習上の点ではないこと)が分かるはず
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