『0^i＝i^０＝１？』

先日、複素数の場合、指数法則が成り立たない場合があることを学ぶ機会があり、それだからというわけでもないのですが、０^i、i^０を考えてみました。（i；虚数）
　０^i＝０となりそうですが、０＝e^πi＋１とすると、０^i＝(e^πi＋１)^i となり、単純に０とはいかなそうです。i^０も＝１としたいのですが…。（e；ネイピア数）
そもそも、a^x＝e^(x㏑a)とすると、a＝０で㏑０となり定義できないし、a＝iの場合も、㏑iとなって、定義がどうなるのか定かでない。しかし、これではsin、cosのテイラー展開の計算が非常に困難になるため、xが自然数の場合はa^x＝０にすると約束している（ようです）。
付け加えるなら、０^０＝１とすると、計算機科学上、非常に都合がよいらしい。
それで、”教えて”となるわけですが、以下の二つの疑問となります。
①０^iは定義されているのか？また、i^０＝１としてよいのか？
②対数を用いずに、a^xを定義できるうまい方法はあるのか？
以上です。どなたか、ご教示いただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

• 補足質問いたします。i＝e^πi/2から㏑i＝㏑(e^πi/2)＝πi/2 もしくは＝πi/2＋2nπ　としてよいのですね？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/06/23 10:25

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/23 15:57

*は単なる掛け算の意味なのですが誤解されるので書き直します

t=arg(a)=(aの偏角)
a=|a|e^(it)
a^x=(|a|^x)e^(itx)

この回答へのお礼

度重なる質問にお答えいただきありがとうございました。

お礼日時：2021/06/24 10:38

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/23 11:38

間違えました

i=e^{i(π/2+2nπ)}
nは任意の整数
から

ln(i)=i(π/2+2nπ)
nは任意の整数
でした
------------------

a^x=(|a|^x)e^{ix*arg(a)}

arg(a)=(aの偏角)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。自分も早とちりしていました。念のためにa^xの式に出てくる＊の定義を教えていただければと思います。また、自分勝手にこうだと勘違いしたくないので…。お手数をおかけしますがお願い致します。

お礼日時：2021/06/23 12:43

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/23 10:45

はい

i=e^(πi/2+2nπ)
nは任意の整数
から

ln(i)=πi/2+2nπ
nは任意の整数
でよいです
------------------

a^x=(|a|^x)e^{ix*arg(a)}

arg(a)=(aの偏角)

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/22 19:14

①0^iは定義されていません

i=e^(iπ/2)
だから
i^0={e^(iπ/2)}^0=e^(0*iπ/2)=1

②
a=re^(it)
となる実数r>0,tがあるから

a^x=(r^x)e^(itx)

この回答へのお礼

御回答、ありがとうございました。

お礼日時：2021/06/23 10:14