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複素数を係数とする多項式P(z)が、任意の複素数zに対して
P(z)=P(zの共役)
を満たすとき、P(z)は定数であると言えますでしょうか?
理由とともにお願いします。

A 回答 (4件)

←No.2


あ、そか。解析を使えばいいんだ。

P(z) = P(zの共役)
P(z) が一次以上であれば、
左辺は z について正則
右辺は微分不能である。
この矛盾が生じないのは、
P(z) が定数の場合だけ。
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この回答へのお礼

天才やな

なるほど…。
おっしゃるとおりでしたね…。
気付きませんでした…。

No.2との繋がりは全く分かりませんが…。

お礼日時:2021/06/23 12:48

> No.2との繋がりは



No.2 の説明を形式的に整えようとすると、
lim[ |z|→∞ ] P(z) - P(zの共役)
の収束性について議論することになるから。
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この回答へのお礼

あなたに会えてよかった

No.2については少し考えてみます。

それはさておき、素晴らしい証明を教えていただきありがとうございました。

お礼日時:2021/06/23 14:57

|z|が充分大きければ最大次数の項が支配的になるから


条件はなりたたない。
→z^n(n≧1)の係数は0
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この回答へのお礼

がんばります

どういうことでしょうか…?
もう少し詳しく説明していただけますか?

お礼日時:2021/06/23 08:35

多項式P(z)ってのは「zの共役は含まない」って話でしょうね。


  P(z) = Σ{n=0〜N} a[n](z^n)
  z = r exp(iθ) (r,θは実数)
として、
  D(r,θ) = P(r exp(iθ)) - P(r exp(-iθ))
を考えると
  D(r,θ) = Σ{n=1~N} a[n](r^n)(exp(i nθ) - exp(-i nθ))
  = 2i Σ{n=1~N} a[n](r^n)sin(nθ)
である。そこで、
  D(r,π/(N+1))/(2i) = Σ{n=1~N} a[n](r^n)sin(nπ/(N+1))
だから
  b[n] = a[n]sin(nπ/(N+1))
とおけば
  D(r,π/(N+1))/(2i) = Σ{n=1~N} b[n](r^n)
という多項式で、これがrによらず0になるのだから、
  b[n] = 0 (n=1〜n)
しかしn=1〜nについて、sin(nπ/(N+1))≠0 だから、
  a[n] = 0 (n=1〜n)
ってことでご了解いただけますでしょうか。んーと、もし「bが複素数だと納得行かない」と仰るのであれば、実部だけを取り出して
  Re(D(r,π/(N+1))/(2i)) = Σ{n=1~N} Re(b[n])(r^n)
とやれば、sin(nπ/(N+1))は実数なので、
  Re(b[n]) = 0だからRe(a[n])=0
同様に虚部についても
  Im(b[n]) = 0だからIm(a[n])=0
でどうです?
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この回答へのお礼

天才やな

なんとまあ鮮やかな……。
極形式のrの多項式と見るなんて思いもつきませんでした…。

ありがとうございました。

お礼日時:2021/06/23 00:03

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