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ある消費者は鶏肉xgと馬肉ygの消費から、
2^-1.5x^0.5y0.5の効用を得る。
鶏肉は1g当たり20円、馬肉は1g当たり10円として、下の問いに答えよ。

1.この消費者が、最小限の費用で12.5の効用を得られる牛肉と豚肉の消費量の組合せを求めるためのラグランジュ関数を定義せよ。

この場合の解答は
L(λ,x,y)=2^-1.5x^0.5y^0.5+λ(12.5-20x-10y)
で合っているでしょうか?

もし間違っていれば教えてください!

gooドクター

A 回答 (15件中1~10件)

この質問に関してまだ未解決の問題が残っているのでしょうか?あるなら、この機会にどうぞ。

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これと同じ問題を質問している質問者がいるね!同じ宿題を解いている同級生かな(笑)?

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>解答が、1/40になるのですがなにが間違っているのでしょうか?



検算したらあなたのおっしゃるように1/40になりました。どこで計算ミスをしたかもわかりました。2つの形のどちらでも1/40になったでしょう。

要するにラグランジ関数Lのx,yについての2次微分
Lxx Lxy
Lyx Lyy
を縁であるLλx、Lλy、Lλλが囲む形になるが、「と、囲むか、」と、囲むかの違いで行列式の値は同じになる。あるいはx,y,λの順に微分するか、λ,x,yの順に微分して行列(行列式)をつくるかの違いといってもよい。
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この回答へのお礼

助かりました

ですよね!あっててよかったです!

今回も長い時間解説していただきありがとうございました!

お礼日時:2021/06/28 11:32

>ヘッセは


Lλλ Lxλ Lyλ
Lx λ Lxx Lyx
Lyλ Lxy Lyy
この形になると思ってたのですが、これとはまた違うのですか?

Lxx Lxy Lxλ   
Lyx Lyy Lyλ
Lλx Lλy Lλλ

も値は同じになります。行列式の知識があるなら、例としてNo.11の

-2/5 1/5 1/4
1/5 -1/10 1/8
1/4 1/8  0

とあなたの

0  1/4 1/8
1/4 -2/5 1/5
1/8 1/5 -1/10

の行列式の値は同じになることを確かめてください。それから、何度もいうように、「ヘッセ」(Hessian)ではなく、「縁付きヘッセ」(Bordered Hessian)といいます。
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この回答へのお礼

解答が、1/40になるのですがなにが間違っているのでしょうか?

お礼日時:2021/06/28 09:06

参考のため、(x,y,λ)=(25,50,80)で評価したBH行列式(縁付きヘッセ行列式)の値は



Lxx Lxy Lxλ   -2/5 1/5 1/4
Lyx Lyy Lyλ = 1/5 -1/10 1/8 = 11/400 > 0
Lλx Lλy Lλλ 1/4 1/8 0

となるので、最大化の2階条件を満たしている。たしかめてください。制約付きの最大化問題の、2階の条件はヘッセの行列式ではなく、ラグランジェ関数をラグランジェ乗数λを含む、それぞれの2階微分からなる、縁付きヘッセの行列式を用いるので注意。
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この回答へのお礼

ヘッセは

Lλλ Lxλ Lyλ
Lx λ Lxx Lyx
Lyλ Lxy Lyy

この形になると思ってたのですが、これとはまた違うのですか?

お礼日時:2021/06/28 00:57

>縁付きヘッセは一番右の列と上の列にgxやgyがつくことですよね?



縁付きヘッセ行列(Bordered Hessian, 以下BHと略す)は

Lxx Lxy Lxλ
Lyx Lyy Lyλ
Lλx Lλy Lλλ

からなる、ラグランジ関数の2次行列のこと。x=25, y=50, λ=80を代入して、|BH|=11/400>0となる(確かめてください)ので、No3で示した最大化問題(U=12.5の制約のもとで費用20x+10yの最小化する問題を最大化問題に変換したことに注意すること)の解候補(x,y)=(25,50)は本当に最適解であることが示された。
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>2)ラグランジュ関数を用いて、最適な消費量の組み合わせの候補を求めよ。


Lλ(λ,x,y)=2^1.5・x^0.5・y^0.5-12.5=0
Lx(λ,x,y)=-20 +λ(2^-1.5・0.5x^-0.5・y^0.5) = 0 Ly(λ,x,y)=-10+λ(2^-1.5・0.5x^0.5・y^-0.5) = 0
の解はλ=80 x=25 y=50が、効用最大化を実現する消費量の組み合わせの候補である

No4で示したようにラグランジュ関数をx,y,λで微分して0と置いたつ
魏の3つの方程式を解く。

0 = Lx = -20+λ[ 2^-1.5・0.5x^-0.5y^0.5]
0 = Ly = -10 + λ[2^-1.5・0.5x^0.5y^-0.5]
0 = Lλ=2^-1.5・x^0.5y^0.5 - 12.5

解x=25,y=50が「最適な消費の組み合わせ」の候補である。

ということになるでしょう。λの値は求められていないので、計算する必要はありません。なお、最適な組み合わせは通常の意味での「効用最大化消費の組み合わせ」ではありません。求めた(x,y)=(25,50)は「12.5の効用を最小費用で達成するXとYの組み合わせ」の候補です。効用最大化組み合わせを求めよではなく、「最適な組み合わせ」と書いてあるのはそのためです。

ラグランジュ関数を用いたときの2階の条件は「縁付きヘシアン」(
Bordered Hessian)です。通常のHessianではありません。これについては勉強しなかったんでしょうか?
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この回答へのお礼

縁付きヘッセは一番右の列と上の列にgxやgyがつくことですよね?

お礼日時:2021/06/26 21:49

あと未解決な部分があるなら、何が残っているんですか?

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この回答へのお礼

(2)
ラグランジュ関数を用いて、最適な消費量の組み合わせの候補を求めよ。

Lλ(λ,x,y)=2^1.5・x^0.5・y^0.5-12.5=0

Lx(λ,x,y)=-20 +λ(2^-1.5・0.5x^-0.5・y^0.5) = 0 Ly(λ,x,y)=-10+λ(2^-1.5・0.5x^0.5・y^-0.5) = 0

の解はλ=80 x=25 y=50が、効用最大化を実現する消費量の組み合わせの候補である

(3)
2階の条件を用いて、消費者の支出を最小限に抑えているか否かを説明せよ。


( 0 -20 -10 )
H=( -20 -0.005 0.0025 )
( -10 0.0025 -0.00125 )

|H2|=2 の符号と-1^1=-1 の符号は不一致のため正値定符号行列ではない
|H2|=2 の符号と-1^2=1の符号は一致するため負値定符号行列である。
よってx=25y=50は効用が極大


と、2問問題が続くのですがこういった形で合ってますでしょうか?

お礼日時:2021/06/26 00:15

>微分の内容はわかりました!


xとyを求めるのは連立方程式で求めるのですか?

No4の3つの3元連立方程式をx,y,λについて解くのです。多分一番速い方法は1番目の式と2番目の式の定数項を左辺に移行して
20 = λ[・・・]
10 = λ[・・・]
の形にしてこの1番目の式を2番目の式で割って、λを消去し、xとyの関係をが得る。あとは自分で計算して!No4の私の計算結果はあっていると思う。
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>Lxを計算するとλの中の2^-1.5やy^0.5も消えるんじゃないんですか?


計算が合わなくてすみません

もしかして、微分の計算は苦手なんでしょうか?練習問題としてつぎのようなコブダグラスの生産関数のKとLの限界生産性を計算してみてください。

Y=AK^aL^(1-a)をKとLで偏微分するとそれぞれ

∂Y/∂K=AaK^1-a・L^(1-a)
∂Y/∂L=A(1-a)K^a・L^(-a)

という結果はわかりますか?同じ微分をNo4でもやっています。
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この回答へのお礼

微分の内容はわかりました!
xとyを求めるのは連立方程式で求めるのですか?

お礼日時:2021/06/24 23:45

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