ある消費者は鶏肉xgと馬肉ygの消費から、
2^-1.5x^0.5y0.5の効用を得る。
鶏肉は1g当たり20円、馬肉は1g当たり10円として、下の問いに答えよ。
1.この消費者が、最小限の費用で12.5の効用を得られる牛肉と豚肉の消費量の組合せを求めるためのラグランジュ関数を定義せよ。
この場合の解答は
L(λ,x,y)=2^-1.5x^0.5y^0.5+λ(12.5-20x-10y)
で合っているでしょうか?
もし間違っていれば教えてください!
No.13
- 回答日時:
>解答が、1/40になるのですがなにが間違っているのでしょうか?
検算したらあなたのおっしゃるように1/40になりました。どこで計算ミスをしたかもわかりました。2つの形のどちらでも1/40になったでしょう。
要するにラグランジ関数Lのx,yについての2次微分
Lxx Lxy
Lyx Lyy
を縁であるLλx、Lλy、Lλλが囲む形になるが、「と、囲むか、」と、囲むかの違いで行列式の値は同じになる。あるいはx,y,λの順に微分するか、λ,x,yの順に微分して行列(行列式)をつくるかの違いといってもよい。
No.12
- 回答日時:
>ヘッセは
Lλλ Lxλ Lyλ
Lx λ Lxx Lyx
Lyλ Lxy Lyy
この形になると思ってたのですが、これとはまた違うのですか?
Lxx Lxy Lxλ
Lyx Lyy Lyλ
Lλx Lλy Lλλ
も値は同じになります。行列式の知識があるなら、例としてNo.11の
-2/5 1/5 1/4
1/5 -1/10 1/8
1/4 1/8 0
とあなたの
0 1/4 1/8
1/4 -2/5 1/5
1/8 1/5 -1/10
の行列式の値は同じになることを確かめてください。それから、何度もいうように、「ヘッセ」(Hessian)ではなく、「縁付きヘッセ」(Bordered Hessian)といいます。
No.11
- 回答日時:
参考のため、(x,y,λ)=(25,50,80)で評価したBH行列式(縁付きヘッセ行列式)の値は
Lxx Lxy Lxλ -2/5 1/5 1/4
Lyx Lyy Lyλ = 1/5 -1/10 1/8 = 11/400 > 0
Lλx Lλy Lλλ 1/4 1/8 0
となるので、最大化の2階条件を満たしている。たしかめてください。制約付きの最大化問題の、2階の条件はヘッセの行列式ではなく、ラグランジェ関数をラグランジェ乗数λを含む、それぞれの2階微分からなる、縁付きヘッセの行列式を用いるので注意。
ヘッセは
Lλλ Lxλ Lyλ
Lx λ Lxx Lyx
Lyλ Lxy Lyy
この形になると思ってたのですが、これとはまた違うのですか?
No.10
- 回答日時:
>縁付きヘッセは一番右の列と上の列にgxやgyがつくことですよね?
縁付きヘッセ行列(Bordered Hessian, 以下BHと略す)は
Lxx Lxy Lxλ
Lyx Lyy Lyλ
Lλx Lλy Lλλ
からなる、ラグランジ関数の2次行列のこと。x=25, y=50, λ=80を代入して、|BH|=11/400>0となる(確かめてください)ので、No3で示した最大化問題(U=12.5の制約のもとで費用20x+10yの最小化する問題を最大化問題に変換したことに注意すること)の解候補(x,y)=(25,50)は本当に最適解であることが示された。
No.9
- 回答日時:
>2)ラグランジュ関数を用いて、最適な消費量の組み合わせの候補を求めよ。
Lλ(λ,x,y)=2^1.5・x^0.5・y^0.5-12.5=0
Lx(λ,x,y)=-20 +λ(2^-1.5・0.5x^-0.5・y^0.5) = 0 Ly(λ,x,y)=-10+λ(2^-1.5・0.5x^0.5・y^-0.5) = 0
の解はλ=80 x=25 y=50が、効用最大化を実現する消費量の組み合わせの候補である
No4で示したようにラグランジュ関数をx,y,λで微分して0と置いたつ
魏の3つの方程式を解く。
0 = Lx = -20+λ[ 2^-1.5・0.5x^-0.5y^0.5]
0 = Ly = -10 + λ[2^-1.5・0.5x^0.5y^-0.5]
0 = Lλ=2^-1.5・x^0.5y^0.5 - 12.5
解x=25,y=50が「最適な消費の組み合わせ」の候補である。
ということになるでしょう。λの値は求められていないので、計算する必要はありません。なお、最適な組み合わせは通常の意味での「効用最大化消費の組み合わせ」ではありません。求めた(x,y)=(25,50)は「12.5の効用を最小費用で達成するXとYの組み合わせ」の候補です。効用最大化組み合わせを求めよではなく、「最適な組み合わせ」と書いてあるのはそのためです。
ラグランジュ関数を用いたときの2階の条件は「縁付きヘシアン」(
Bordered Hessian)です。通常のHessianではありません。これについては勉強しなかったんでしょうか?
No.8
- 回答日時:
あと未解決な部分があるなら、何が残っているんですか?
(2)
ラグランジュ関数を用いて、最適な消費量の組み合わせの候補を求めよ。
Lλ(λ,x,y)=2^1.5・x^0.5・y^0.5-12.5=0
Lx(λ,x,y)=-20 +λ(2^-1.5・0.5x^-0.5・y^0.5) = 0 Ly(λ,x,y)=-10+λ(2^-1.5・0.5x^0.5・y^-0.5) = 0
の解はλ=80 x=25 y=50が、効用最大化を実現する消費量の組み合わせの候補である
(3)
2階の条件を用いて、消費者の支出を最小限に抑えているか否かを説明せよ。
( 0 -20 -10 )
H=( -20 -0.005 0.0025 )
( -10 0.0025 -0.00125 )
|H2|=2 の符号と-1^1=-1 の符号は不一致のため正値定符号行列ではない
|H2|=2 の符号と-1^2=1の符号は一致するため負値定符号行列である。
よってx=25y=50は効用が極大
と、2問問題が続くのですがこういった形で合ってますでしょうか?
No.7
- 回答日時:
>微分の内容はわかりました!
xとyを求めるのは連立方程式で求めるのですか?
No4の3つの3元連立方程式をx,y,λについて解くのです。多分一番速い方法は1番目の式と2番目の式の定数項を左辺に移行して
20 = λ[・・・]
10 = λ[・・・]
の形にしてこの1番目の式を2番目の式で割って、λを消去し、xとyの関係をが得る。あとは自分で計算して!No4の私の計算結果はあっていると思う。
No.6
- 回答日時:
>Lxを計算するとλの中の2^-1.5やy^0.5も消えるんじゃないんですか?
計算が合わなくてすみません
もしかして、微分の計算は苦手なんでしょうか?練習問題としてつぎのようなコブダグラスの生産関数のKとLの限界生産性を計算してみてください。
Y=AK^aL^(1-a)をKとLで偏微分するとそれぞれ
∂Y/∂K=AaK^1-a・L^(1-a)
∂Y/∂L=A(1-a)K^a・L^(-a)
という結果はわかりますか?同じ微分をNo4でもやっています。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- レシピ・食事 消費期限期限切れの 豚肉5.4まで 鶏肉5.5まで 鶏肉は唐揚げにして食べたいと思っていました。 し 5 2023/05/07 15:59
- 経済学 今期の消費量をC1、来期の消費量をC2、消費者の効用関数をu=5 (C1)^6(C2)^4とする。 2 2023/01/29 10:07
- 食べ物・食材 消費期限が昨日までの鶏胸肉を今日カレーにして調理したんですけど、どれくらい持ちますかね?? 2 2022/04/01 01:13
- ダイエット・食事制限 ダイエット始めました。脂質などについて教えて下さい 3 2022/06/20 11:45
- 食べ物・食材 冷蔵した鶏肉(消費期限内)が臭いです 1 2022/08/12 15:16
- その他(料理・グルメ) 消費期限の切れたお肉 冷凍保存してあった牛バラお肉の消費期限が、昨年の9月でした。 見た目は変化なか 3 2023/02/07 19:07
- 確定申告 個人事業者が源泉徴収額ありで法人に請求書を出す書き方について 2 2022/06/22 22:03
- 食生活・栄養管理 同じ肉を食べるなら、豚肉と鶏肉、どっちが身体にいいですか? 豚肉は身体の疲れをとる効果、鶏肉は筋肉に 7 2022/04/20 18:27
- 経済学 答えが二つ出て曖昧なので誰か時給教えていただけると幸いです。 ある財の市場における需要関数と供給関数 3 2022/11/15 23:10
- 筋トレ・加圧トレーニング プロテインを飲むと胸焼け 胃もたれ 下痢が起こります。 ただ筋トレがしたいです、、 筋トレするのに必 1 2023/05/22 02:49
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
滴定の実験で、結果をExcelで一...
-
シグマなど文字を含んだままで...
-
ミクロ経済学 限界代替率の求...
-
「限界的に」や「限界消費性向...
-
限界代替率の求め方がわかりません
-
Excelで微分をしたいのですが。...
-
債券分析のコンベクシティ
-
ミクロ経済学が大学で必修。数...
-
経済数学<限界代替率>
-
微分積分は、将来何の役に立ち...
-
需要の価格弾力性
-
プラスとマイナスが入った比率...
-
経済学の教科書に載っていたパ...
-
3000円が3割なら10割はいくらで...
-
効用関数の取りうる値について
-
10の-9乗ってどういう意味ですか?
-
効用関数?効用水準?無差別曲線?
-
【数A 集合の要素の個数】 問題...
-
「日常生活における数列」とは...
-
「ミクロ経済学の力」という参...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
Excelで微分をしたいのですが。...
-
シグマなど文字を含んだままで...
-
「限界的に」や「限界消費性向...
-
コブ・ダグラス型生産関数 問題
-
滴定の実験で、結果をExcelで一...
-
経済学を学ぶための数学は高校...
-
微分積分は、将来何の役に立ち...
-
経済学で使う微分とは?
-
なぜ、微分係数という名前がつ...
-
債券分析のコンベクシティ
-
限界代替率について
-
ミクロ経済学が大学で必修。数...
-
微分の仕方(経済学)
-
凹関数?
-
IS曲線LM曲線における微分での...
-
クーン・タッカーの定理につい...
-
コブ・ダグラス型生産関数の問...
-
ミクロ経済学 わからないので教...
-
限界代替率の質問です。 u=(x,y...
-
経済数学<限界代替率>
おすすめ情報